Kombinatorik befragt Studenten Bayes-Theorem
Ich habe diese Aufgabe und würde gerne Ideen / Lösungen dafür hören.
Es gibt 30 Studenten in einer Prüfung. Die Fragen sind 20.
Jeder Schüler zieht 2 Fragen und die Bedingung, um die Prüfung zu bestehen, ist eine echte Antwort auf beide Fragen.
Es gibt 3 Gruppen von Studenten:
5 Schüler kennen alle Fragen $ (\dfrac{5}{30}) $
15 Schüler kennen 10 Fragen $ (\dfrac{15}{30} ) $
10 Schüler kennen 5 Fragen $ (\dfrac{10}{30} )$
Frage 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Schüler die Prüfung besteht?
Fragen Nr. 2: Wenn wir wissen, dass 1 Schüler die Prüfung bestanden hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler nur 5 Fragen kannte?
Meine Lösung: # 1 Ich summiere die Wahrscheinlichkeit jeder Studentengruppe $[\dfrac{5}{30}\cdot1\cdot1] + [\dfrac{15}{30} \cdot \dfrac{10}{20}\cdot\dfrac{10}{20}] + [ \dfrac{10}{30} \cdot \dfrac{5}{20} \cdot \dfrac{5}{20}] = 0.3053$
# 2 $\dfrac{10}{30} \cdot \dfrac{5}{20} \cdot \dfrac{4}{19} = 0.017; $
$ 0.3053 \cdot 0.017 = 0.0051$
Ich denke nicht, dass meine Brüche richtig sind.
Antworten
Nehmen wir zum Beispiel die zehn Schüler, die nur fünf der zwanzig Fragen kennen. Damit ein Schüler dieser Gruppe die Prüfung bestehen kann, müssen beide Fragen zu den fünf gehören, die er beantworten kann. Es gibt$\binom{5}{2} = 10$ Möglichkeiten, zwei der zwanzig Fragen so auszuwählen, dass beide aus der Gruppe der Fünf stammen, die sie zu beantworten wissen, aber es gibt sie $\binom{20}{2} = 190$Möglichkeiten, zwei Fragen auszuwählen, unabhängig davon, ob der Schüler die Antwort kennt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler in dieser Gruppe besteht, gleich$10/190 = 1/19$.
Wenn wir ähnliche Argumente auf die Schüler anwenden, die es wissen $10$ aus dem $20$ Fragen sehen wir, dass ihre Überholwahrscheinlichkeit ist $$\frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} = \frac{45}{190} = \frac{9}{38}.$$
Und natürlich werden die Schüler, die alle Fragen kennen, immer bestehen; ihre Wahrscheinlichkeit ist$1$.
Nun gewichten wir diese einzelnen Bestehenswahrscheinlichkeiten mit der Wahrscheinlichkeit, einen Schüler aus der jeweiligen Kategorie auszuwählen, um eine Gesamtwahrscheinlichkeit für das Bestehen eines zufällig ausgewählten Schülers zu erhalten:
$$1 \cdot \frac{5}{30} + \frac{9}{38} \cdot \frac{15}{30} + \frac{1}{19} \cdot \frac{10}{30} = \frac{23}{76}.$$
Im zweiten Teil erfahren Sie, dass der zufällig ausgewählte Schüler die Prüfung bestanden hat. Dies wirkt sich auf die hintere Wahrscheinlichkeit aus, dass dieser Schüler zu der Gruppe gehört, die nur fünf Fragen kannte. Die Intuition legt nahe, dass diese Wahrscheinlichkeit extrem gering ist.
Wir verwenden den Bayes-Satz, um dies zu berechnen. Lassen$P$Sei das Ereignis, an dem ein zufällig ausgewählter Schüler teilgenommen hat. Lassen$F$Seien Sie der Fall, dass ein zufällig ausgewählter Schüler zu der Gruppe gehört, die nur fünf Fragen kennt. Dann werden wir gebeten zu berechnen$\Pr[F \mid P]$. Nach dem Bayes-Theorem ist dies$$\Pr[F \mid P] = \frac{\Pr[P \mid F]\Pr[F]}{\Pr[P]}.$$ Wir sind gegeben $\Pr[F] = \frac{10}{30}$. Wir haben bereits im ersten Teil gerechnet$$\Pr[P \mid F] = \frac{1}{19}.$$ Und wir haben gerechnet $$\Pr[P] = \frac{23}{76}.$$ Alles was übrig bleibt, ist diese Werte zu ersetzen und zu vereinfachen.
Nun scheint die Idee, dass eine Prüfung nur aus zwei Fragen besteht und beide richtig beantwortet werden müssen, um zu bestehen, ein wenig unrealistisch. Vielleicht können wir eine Änderung des Problems in Betracht ziehen. Angenommen, die Prüfung besteht stattdessen aus$4$ Fragen, und um zu bestehen, muss ein Schüler mindestens beantworten $3$ des $4$Fragen richtig. Nach wie vor ist die Anzahl der Fragen, die ein Schüler zu beantworten weiß, jedoch gleich.
Dann ist zum Beispiel unter der Gruppe von Studenten, die nur fünf der zwanzig Fragen kennen, die Wahrscheinlichkeit des Bestehens $$\Pr[P \mid F] = \frac{\binom{5}{3} \binom{15}{1}}{\binom{20}{4}} + \frac{\binom{5}{4}\binom{15}{0}}{\binom{20}{4}}.$$ Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus einer hypergeometrischen Verteilung.
Wie würden Sie die Wahrscheinlichkeiten für die beiden anderen Gruppen berechnen?
Für 1 $$P(\text{student passes}) = \frac{5}{30} \cdot 1 + \frac{15}{30}\frac{\binom{10}{2}}{\binom{20}{2}} + \frac{10}{30}\frac{\binom{5}{2}}{\binom{20}{2}} $$Aufteilung nach Schülertyp und wenn wir zB 10 Fragen kennen, müssen wir 2 aus den guten Fragen über 2 aller 20 Fragen auswählen, daher die Binome. Ihre Quadrate behandeln es so, als ob dieselbe Frage zweimal ausgewählt werden könnte.
Dies vereinfacht zu $\frac{69}{228}$ was ist ungefähr $0.3026$.
Frage 2 fragt nach $P(\text{type3 student}| \text{ student passes})$ welches ist $$\frac{P(\text{type3 student and student passes})}{P(\text{ student passes})}$$
durch die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit. In 1 haben wir bereits den Nenner gefunden, der Zähler ist gleich$\frac{10}{30}\frac{\binom{5}{2}}{\binom{20}{2}} =\frac{4}{228}$. Also bekommen wir$\frac{4}{69}$ als Antwort.