Konsistenter Schätzer - konsistent mit was genau?

Question

Nehmen wir an, dass der reale DGP (Real World Data) aus dem Modell generiert wird:

$$y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \varepsilon_i$$

Nehmen wir weiter an, dass $x_1$ und $x_2$sind korreliert. Genau,$x_1$ist eine Confounder- Variable, die verursacht $x_2$::

$$x_{2i} = \alpha_0 + \alpha_1 x_{1i} + u_i$$

Der Forscher kennt die obigen Informationen nicht, er ist sich sicher, dass das wahre Modell nur eine Variable hat und folgende funktionale Form annimmt:

$$ y_i = \gamma_0 + \gamma_2x_{2i} + v_i $$

Was können wir, die wir alles wissen, über die Konsistenz des Schätzers sagen? $\hat \gamma_2$?

• Es ist inkonsistent, da der konsistente Schätzer im 'realen Parameter' eine Grenze hat, was in diesem Fall der Fall ist $\beta_2$.
• Es ist konsistent, da der konsistente Schätzer die Parameter des 'angenommenen Modells' begrenzt hat. In diesem Fall$\gamma_2$. Es ist das Modell, das nicht in die reale Welt passt, nicht der Schätzer.

Ich sehe diese beiden Möglichkeiten. Welches ist (mehr) wahr und was ist am wichtigsten - warum ?

Answer 1

Weder. Ein Schätzer ist für einige Parameter konsistent , daher lautet die Antwort in diesem Fall

• Ja, $\hat\gamma_2$ ist konsistent für $\beta_2$
• Nein, $\hat\gamma_2$ ist nicht konsistent für $\gamma_2$ (oder für $\beta_0$ oder viele andere Dinge).

In diesem Fall deuten die kausalen Annahmen darauf hin, dass Sie mehr daran interessiert sind, ob dies konsistent ist $\gamma_2$, aber Sie müssen immer noch sagen "konsequent für $\gamma_2$", nicht nur" konsistent ". Gleiches gilt für" voreingenommen "und" unvoreingenommen ": Ein Schätzer ist für einen Parameter voreingenommen oder unvoreingenommen

Manchmal gibt es wirklich nur eine interessante Grenze, und es ist ein vernünftiger Missbrauch der Notation, sie implizit zu lassen, aber ein Anspruch auf Konsistenz erfordert die Angabe der Grenze.