Konvergiert diese rekursive Sequenz (nicht monoton)?

Question

Lassen $\{a_n\}$ sei eine solche Sequenz, dass $a_1=4$ und $a_{n+1}=\dfrac{5 a_n -6}{a_n -2},\, \forall n\geq 2$. Zeigen Sie, dass es konvergiert und finden Sie seine Grenze.

Das einzige, was ich zeigen konnte, ist, dass wenn es konvergent ist, das Limit entweder 1 oder 6 ist. Ich habe Mathematica verwendet, um das Verhalten der Sequenz zu sehen, und ich habe festgestellt, dass es gegen 6 konvergiert und auch nicht monoton ist.

Ich bin in verschiedenen Beiträgen hier in math.SE auf einige rekursive Sequenzen wie diese gestoßen, aber alle waren begrenzt und monoton.

Answer 1

Durch Induktion für jeden $n\geq1$ wir erhalten: $$a_{n+1}=\frac{5a_n-10+4}{a_n-2}=5+\frac{4}{a_n-2}>4$$ So, $a_n\geq4$ für jeden $n\geq1$.

Jetzt, $$|a_{n+1}-6|=\frac{|a_n-6|}{a_n-2}\leq\frac{1}{2}|a_n-6|\leq\left(\frac{1}{2}\right)^2|a_{n-1}-6|\leq...\leq\left(\frac{1}{2}\right)^n|a_1-6|\rightarrow0.$$

Answer 2

Wenn wir lassen $b_n=a_n-6$, wir bekommen $b_{n+1}+6=\frac{5(b_n+6)-6}{b_n+4}$ was vereinfacht zu $b_{n+1}=-\frac{b_n}{b_n+4}$. Jetzt lassen$c_n=\frac{1}{b_n}$ wir bekommen $c_{n+1}=-1-4c_n$ und $c_1=-\frac{1}{2}$. Das sieht fast wie eine geometrische Sequenz aus, also lass es endlich$d_n=c_n+\frac{1}{5}$ und wir bekommen $d_{n+1}=-4d_n$ und $d_1=-\frac{3}{10}$. Jetzt können wir sehen$d_n=-\frac{3}{10}(-4)^{n-1}$, und daher $$ a_n=\frac{1}{-\frac{3}{10}(-4)^{n-1}-\frac{1}{5}}+6. $$ Damit $a_n \to 6$ wie $n \to \infty$ (Der Nenner wächst im absoluten Wert bis unendlich).