Punktprodukt mit Einstein-Summationskonvention (Indexnotation)

Question

Mein Professor, als er bewies: $$a \cdot b = a_ib_i$$ schrieb: $$(a_i \hat{e}_i)\cdot(b_j \hat{e}_j) = (a_ib_j)(\hat{e}_i\hat{e}_j)$$

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Mein Zweifel ist:

Dürfen wir das Punktprodukt als gewöhnliche Multiplikation behandeln, wenn wir alles in Indexnotationen geschrieben haben? Gilt das auch für Cross-Produkte?

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1. Die Verwirrung ist hauptsächlich, weil wir umgezogen sind $b_j$von einer Klammer zur anderen.
   In meinen Gedanken sind wir umgezogen$b_j$ über den Punkt . Das fühlt sich falsch an.

2. Mit " gewöhnlicher Multiplikation " meine ich die Art der Multiplikation, die wir in der Algebra verwenden, um das Produkt zweier Variablen zu bezeichnen. Dort können wir Variablen von einer Klammer in eine andere verschieben.

Answer 1

Was Sie auf der rechten Seite haben

$(𝑎_𝑖𝑒̂_𝑖)⋅(𝑏_𝑗𝑒̂_𝑗)=(𝑎_𝑖𝑏_𝑗)(𝑒̂_𝑖𝑒̂_𝑗)$

ist keine gewöhnliche Multiplikation, weil $𝑒̂_𝑖$ und $𝑒̂_𝑗$sind Vektoren. Dort müssen Sie das Punktprodukt verwenden.

Umschalten auf die allgemeine Notation, die wir haben:

$a=\sum_i a_i 𝑒̂_𝑖$

$b=\sum_j b_j 𝑒̂_j$

und $$ a \cdot b= \sum_{i,j} a_i b_j (𝑒̂_𝑖 \cdot 𝑒̂_j) $$ Dort verwenden wir, dass das Punktprodukt bilinear ist.