Relativistische Bose-Einstein-Kondensation (BEC)
Ich frage mich, ob es ein ähnliches Konzept wie das von BEC gibt , das sich jedoch aus der Quantenfeldtheorie ergibt, das aus dem üblichen Konzept stammt, das in der nicht-relativistischen Vielkörper-Quantenmechanik entwickelt wurde.
Beim nicht-relativistischen Vielkörper-QM kondensieren die Partikel, indem sie den Einzelpartikel-Grundzustand einnehmen (wenn das System nicht oder schwach interagiert). Die Beschreibung bezieht sich dann auf eine "kollektive" Wellenfunktion$\Psi$das ist der "Ordnungsparameter" und unterliegt der Gross-Pitaevskii-Gleichung (GPE).
Wenn nun die Theorie relativistisch sein muss, nehme ich an, dass anstelle der Kondensatwellenfunktion $\Psi$sollten wir ein Klein-Gordon-Skalarfeld haben $\phi$und dass wir anstelle der GPE so etwas wie eine Klein-Gordon-Wellengleichung haben sollten .
Dies ist nur spekulativ und (wenn richtig) ist mir nicht klar, welche genaue Bedeutung dieses relativistische Klein-Gordon-Feld hat $\phi$das sollte die Rolle des "Bestellparameters" spielen. Insbesondere die Skalarbosonen, die der Kondensation unterliegen, sind bereits als Skalarfeld beschrieben, aber ist dies das gleiche Skalarfeld?$\phi$ die die Rolle des "Bestellparameters" spielen?
PS: Mein Anspruch basiert auf der Tatsache, dass, wenn Sie schreiben $\phi = e^{im t} \Psi$, dann können Sie den Lagrange von konvertieren $\phi$ in die Lagrange für das nicht-relativistische Feld $\Psi$, wo $m$ist die Masse des Bosons. Machen Sie die Variationen des Lagrange für$\Psi$wir erhalten die zeitabhängige GPE-Gleichung (im Grunde eine Schrödinger-Gleichung), siehe zB dies oder das .
Antworten
Die Bose-Einstein-Kondensation findet für alle Bosonen statt , sofern das Potenzial und die Dimension des Systems dies unterstützen. Es kommt nur auf die Statistik an, der die Partikel gehorchen.
Die GPE ist nur eine Gleichung, die (in der Mittelfeldnäherung) die Wechselwirkung von Bose-kondensierten Bosonen angemessen beschreibt. Sie können nicht zeigen, dass Atome bei kondensieren$T=T_{\mathrm{c}}$von der GPE. Sie müssen bereits kondensierte Bosonen verwenden.
Die Klein-Gordon-Gleichung beschreibt den freien Spin$0$Teilchen, dh eine bestimmte Art von (freien) Bosonen. Daher werden sie tatsächlich Bose-kondensieren, obwohl BEC im freien Raum etwas langweilig und unmöglich zu beobachten ist (im thermodynamischen Grenzbereich), da der niedrigste Zustand eine flache Verteilung ist, die dazu neigen würde$0$ um der Normalisierung willen.
Während BECs in der Quantenmechanik "intuitiv" beschrieben werden ( erste Quantisierung), sollten sie wirklich mit QFT ( zweite Quantisierung) behandelt werden. Nur im letzteren Formalismus ist das Konzept des Symmetriebrechens wirklich sinnvoll (obwohl sich herausstellt, dass Sie für ein nicht interagierendes BEC nicht unbedingt ein Brechen der Symmetrie benötigen). Der Auftragsparameter ist der Feldoperator$\hat\psi(r)$:: $$ \hat\psi(r) = \sum_i a_i \varphi_i(r),$$ wo $a_i$ ist der Vernichtungsoperator eines Partikels im einzelnen Partikel $\varphi_i(r)$. Sie können das leicht sehen$\langle \hat \psi(r) \rangle = 0$Immer wenn sich der Zustand, über den Sie den Durchschnitt bilden, in einem Zahleneigenzustand befindet. BEC tritt auf, wenn$\langle \hat \psi(r) \rangle \neq 0$Dies stimmt damit überein, dass der Zustand jetzt ein kohärenter Zustand ist und daher eine "festere" Phase bei einer ungewissen Anzahl von Partikeln aufweist$^\dagger$. Daher$\langle \hat \psi(r) \rangle$ kann als Auftragsparameter verwendet werden.
$^\dagger$: Dies ist eine Subtilität, die in der meisten Literatur normalerweise ignoriert wird, aber der Formalismus zum Brechen der Symmetrie und zur Phasenauswahl ist zwar intuitiv anwendbar und nützlich, für nicht interagierende BECs jedoch nicht erforderlich. Sie könnten tatsächlich darauf verzichten. Das kohärente Zustandsbild funktioniert irgendwie für$0 \ll T \ll T_{\mathrm{c}} $wobei die thermisch abgereicherten Atome ein Reservoir bilden, in dem die Bose-kondensierte Zahl schwanken kann. Aber für$T=0$Die Erhaltung der Baryonenzahl verbietet die Schwankungen der Partikelanzahl, die für einen kohärenten Zustand erwartet werden. In dieser Referenz finden Sie eine schöne Diskussion über kohärente Zustands- und Zahlenzustandsformalismen.