Satz Cramer-Wold.

Question

Satz (Cramer-Wold-Gerät): Die Verteilung eines Zufalls $n$-Vektor $X$ wird vollständig durch die Menge aller eindimensionalen Verteilungen von Linearkombinationen bestimmt $t^TX$, wo $t$ Bereiche über alle fest $n$-vektoren. $$$$ Beweis. $ Y: = t ^ TX $ hat eine charakteristische Funktion: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$ Wenn wir die Verteilung jedes $ kennen Y $ , wir kennen die CF $ \ phi_Y (s) $ . Insbesondere wenn wir $ s = 1 $ nehmen , kennen wir $ E [e ^ {ist ^ TX}] $ . Dies ist jedoch die CF von $ X = (X_1, \ ldots, X_n) ^ T $, ausgewertet bei $ t = (t_1, \ ldots, t_n) ^ T $ . Dies bestimmt jedoch die Verteilung von $ X. $

Meine Fragen:

1. Wenn $ s = 1 $ ist, verliert der Beweis dann die Allgemeinheit? Warum nicht?
2. Meine Interpretation des Beweises ist, dass wenn die lineare Kombination des Vektors und des Vektors dieselbe charakteristische Funktion hat, ihre Verteilung dieselbe ist. Ist diese Interpretation richtig? 3) Was bedeutet "vollständig bestimmt" im Satz?

Answer 1

• Ich verstehe nicht, was Sie in Ihrer ersten Frage unter "Allgemeinheit verlieren" verstehen. Die einzige "Allgemeinheit" in dem Beweis, die mir von Bedeutung zu sein scheint, ist, dass er für jeden funktionieren muss$\ n$-vektor und für jeden $\ n\ $, was es tut. Putten$\ s=1\ $ ist nur ein Schritt im Beweis, ein Schritt, den Sie legitimerweise unabhängig von den Werten von ausführen können $\ n\ $ und $\ X\ $ sind, so dass es keine Einschränkung für sie auferlegt.

• Ein Vektor ist nicht dasselbe wie eine lineare Kombination seiner Einträge (es sei denn, der Vektor, $\ X\ $ ist $1$-dimensional und die lineare Kombination ist $\ 1\cdot X\ $), die ein Skalar sein muss. Daher können weder die Verteilung noch die charakteristische Funktion eines Zufallsvektors mit denen einer linearen Kombination der Einträge dieses Zufallsvektors identisch sein. Die Verteilung eines Zufalls$\ n$-vektor sowie seine charakteristische Funktion werden Funktionen von sein $\ n\ $Variablen, während sowohl die Verteilung als auch die charakteristische Funktion einer bestimmten linearen Kombination der Einträge des Zufallsvektors Funktionen einer einzigen Variablen sind.

  Der entscheidende Punkt beim Cramer-Wold-Gerät ist, dass Sie die eindimensionale Verteilung nicht nur einer bestimmten linearen Kombination der Einträge des Zufallsvektors, sondern jeder solchen linearen Kombination kennen müssen. Auf diese Weise können Sie den Zufall ableiten Vektorverteilung, eine Funktion vieler Variablen, aus dieser unendlichen Funktionsfamilie einer einzelnen Variablen.