Verschwindende relative Homotopiegruppen

Question

Lassen $X$ ein pfadverbundener topologischer Raum sein und $A$ ein Unterraum von $X$. Korrigieren Sie eine Ganzzahl$k$ größer als Null und nehme an, jede Karte von einem verbundenen $i$ dimensionale Polyeder zu $X$ ist homotopisch zu einer Karte mit Bild in $A$ für jeden $i\leq k$. Zum Beispiel,$X$ kann ein CW-Komplex sein und $A$ es ist $k$-Skelett. Bedeutet das?$\pi_{i}(X,A)=0$ oder $H_{i}(X,A)=0$ zum $0<i\leq k$? Für einen CW-Komplex und seine$k$ Skelett, das ist wahr, aber ich brauche das Argument in einem allgemeineren Sinne.

Answer 1

Wie gesagt, es ist überhaupt nicht wahr, selbst für ein Skelett eines CW-Komplexes. Paar$(D^n, S^{n-1})$ hat die erforderliche Eigenschaft für jede $k$, da die Scheibe zusammenziehbar ist und jede Karte zu einer konstanten Karte hkmotopisch ist, hat dieses Paar offensichtlich Homologie und relative Homotopiegruppen einer Kugel.