Was ist eine fermionische Feldtheorie?
Lassen $\mathscr{H}$ sei ein Hilbert-Raum und $\mathscr{H}^{n}$ sei der assoziierte $n$-faches Tensorprodukt dieses Hilbert-Raumes. Ich werde die mathematischen Details im Folgenden überspringen, aber mein Ansatz folgt Reed & Simons Buch . Wir können einen Operator definieren$A_{n}$, genannt antisymmetrischer Operator, bei dem es sich um eine orthogonale Projektion handelt $\mathscr{H}^{n}$ zu seinem antisymmetrischen Unterraum $A_{n}\mathscr{H}^{n}$. Mathematisch können wir definieren, was normalerweise als fermionischer Fock-Raum bezeichnet wird $\mathcal{F}_\text{fer}$ durch: $$\mathcal{F}_\text{fer} := \bigoplus_{n=0}^{\infty}A_{n}\mathscr{H}^{n}$$ wo $A_{0}\mathscr{H}^{0} := \mathbb{C}$ und $A_{1}\mathscr{H}^{1} := \mathscr{H}$. Wir können fortfahren und Operatoren definieren$\mathcal{F}_\text{fer}$, wie der Hamilton-Operator, Schöpfungs- und Vernichtungsoperatoren und so weiter. Das Verfahren dazu ist im Wesentlichen wie folgt: Wir haben einen bestimmten Operator$T$ auf $\mathscr{H}$ und wir erweitern es auf $\mathscr{H}^{n}$durch Verwendung einer Prozedur namens zweite Quantisierung und dann definieren$T$ auf $\mathcal{F}_\text{per}$ indem man es auf jede 'Komponente' einwirken lässt $A_{n}\mathscr{H}^{n}$.
Das obige Szenario ist ziemlich allgemein und im Grunde genommen Mathematik. Der Name "fermionisch" erregte jedoch immer meine Aufmerksamkeit. Ich war mir sicher, dass dies in gewissem Sinne die mathematische Formulierung eines Systems vieler Fermionen war, und dies würde den Namen rechtfertigen. Im Laufe der Zeit habe ich jedoch einige sehr unterschiedliche Modelle gefunden, die durch den obigen Formalismus beschrieben zu werden scheinen. Lassen Sie mich einige kurze informelle Beispiele geben:
(1) Wir können nehmen$\mathscr{H} = L^{2}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{C})$ der Raum der quadratisch integrierbaren Funktionen mit komplexem Wert, der auf definiert ist $\mathbb{R}^{d}$.
(2) Wenn wir uns in einem diskretisierten Raum befinden, können wir ersetzen$\mathbb{R}^{d}$ im obigen Beispiel durch eine endliche Menge $\Lambda$. Diese endliche Menge könnte ein endliches Gitter oder sogar das kartesische Produkt eines endlichen Gitters und einer endlichen 'Spin'-Menge sein.
(3) Wenn wir über Dirac-Felder nachdenken, scheint es, dass der richtige Hilbert$\mathscr{H}$ ist $\mathbb{C}^{2}$, was zu Spins Line führt ${1}\choose{0}$ und ${0}\choose{1}$.
Diese drei Beispiele (und möglicherweise auch andere) finden sich in vielen verschiedenen Büchern unter dem gleichen Namen "fermionisches System" oder "fermionische Feldtheorie".
Frage: Ich weiß nicht, ob all diese drei Beispiele nur unterschiedliche Realisierungen nur eines physischen Systems sind, aber ich glaube, dass dies nicht der Fall ist . Es scheint also, dass man bei einer fermionischen Feldtheorie normalerweise an einen fermionischen Fock-Raum denkt$\mathcal{F}_\text{fer}$ zusammen mit einem zweiten quantisierten Hamilton-Operator $H$Wenn man auf diesen Fock-Raum einwirkt, gibt es tatsächlich viele verschiedene Erkenntnisse über fermionische Feldtheorien und nicht nur eine. Ist das richtig?
Antworten
Eine fermionische Feldtheorie ist nicht durch ihren Hilbert-Raum gekennzeichnet. Es zeichnet sich durch die algebraischen Beziehungen zwischen seinen Feldoperatoren aus.
Eine fermionische Feldtheorie ist eine Theorie, deren Observablen aus Feldoperatoren konstruiert werden $\psi_n(x)$ die die gleichzeitigen Antikommutationsbeziehungen erfüllen \begin{align} \{\psi_n(x,t),\psi_m(y,t)\} &= 0 \\ \{\psi_n(x,t),\psi_m^\dagger(y,t)\} &= 0\text{ if }x\neq y\text{ or }n\neq m, \end{align} wo $\{A,B\}\equiv AB+BA$. Das Pauli-Ausschlussprinzip ist eine Folge davon. Die verschiedenen in der Frage beschriebenen Konstruktionen können als unterschiedliche Arten der Darstellung solcher Operatoren in einem Hilbert-Raum verwendet werden.
Meine Antwort https://physics.stackexchange.com/a/582216gibt einige allgemeine Kommentare zu Darstellungen. Die zentrale Botschaft ist, dass der Hilbert-Raum selbst fast nichts über eine Theorie aussagt. Auf das Muster der Observablen kommt es an. Verschiedene Arten der Darstellung des Hilbert-Raums mögen für verschiedene Muster von Observablen mehr oder weniger praktisch sein, aber die Observablen sind entscheidend.
Ja, es gibt viele verschiedene fermionische Feldtheorien. Der Hamiltonianer$H$selbst mag ausreichen, um zwischen einigen von ihnen zu unterscheiden, aber der Hamilton-Operator ist nur ein Operator. Die Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und anderen Observablen ist kritischer, und eine solche Beziehung wird immer dann impliziert, wenn wir sie ausdrücken$H$in Bezug auf die Feldoperatoren, da andere Observablen auch in Bezug auf die Feldoperatoren ausgedrückt werden. Beachten Sie, dass Observable bei räumlicher Trennung miteinander pendeln müssen (dies ist eines der Kausalitätsprinzipien), sodass ein Observable notwendigerweise ein Produkt einer geraden Anzahl von Anti-Pendler-Feldoperatoren beinhaltet.
Übrigens sehe ich ab und zu den Namen "Fermion" als Synonym für etwas, dessen Spin ein ungerades Vielfaches von ist $\hbar/2$. In der relativistischen Quantenfeldtheorie rechtfertigt die Verbindung zwischen Spin und Statistik diese Sprache. Aber im Allgemeinen gilt diese Verbindung nicht: Eine Fermion (etwas, dessen Feldoperatoren gegen Pendler arbeiten) hat nicht unbedingt einen solchen Spin oder umgekehrt.