$|x|^{3/2}$ stark konvex?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ Wenn Sie die 2. Ableitung nehmen, erhalten Sie $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ Wenn Sie sich an die Anforderung halten, dass $f$ ist stark konvex wenn $$f''(x) \geq m \gt 0$$ Dann $f$ ist stark konvex.

Wenn Sie sich jedoch an die Anforderung halten, dass $f$ ist stark konvex wenn

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ ist konvex, $∀x$ und einige $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ ist da eindeutig nicht konvex $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ für groß genug $x$.

Bitte lassen Sie mich wissen, wo mein Fehler ist!

Vielen Dank

Answer 1

Es stimmt, dass $f''>0$ wo es definiert ist, und in der Tat $f$ ist immer noch konvex in einem Intervall mit $0$ obwohl $f''(0)$ist nicht wirklich definiert. (In einem etwas lockeren Sinne kann man sagen$f''(0)=+\infty$.)

Die erste Anforderung, die Sie erwähnt haben, gilt jedoch nicht , da es keine einzelne Nummer gibt$m>0$ so dass $f'' \geq m$ überall seitdem $f''$geht im Unendlichen auf Null. So$f$ ist nicht stark konvex, aber dennoch streng konvex.