DSP - DFT Discrete Cosine Transform

DCT (Discrete Cosine Transform) ist eine N-Eingangssequenz x (n), 0 ≤ n ≤ N-1, als lineare Transformation oder Kombination komplexer Exponentiale. Infolgedessen sind die DFT-Koeffizienten im Allgemeinen komplex, selbst wenn x (n) real ist.

Angenommen, wir versuchen, eine orthogonale Transformation mit einer N × N-Struktur herauszufinden, die eine reelle Sequenz x (n) als lineare Kombination einer Kosinussequenz ausdrückt. Das wissen wir schon -

$ X (K) = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Und $ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Dies ist möglich, wenn die N-Punkt-Sequenz x (n) real und gerade ist. Somit ist $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $. Die resultierende DFT selbst ist real und gleichmäßig. Diese Dinge machen deutlich, dass wir möglicherweise eine diskrete Cosinustransformation für jede N-Punkt-Realsequenz erstellen könnten, indem wir die 2N-Punkt-DFT einer „geraden Erweiterung“ der Sequenz nehmen.

DCT wird grundsätzlich in der Bild- und Sprachverarbeitung verwendet. Es wird auch zur Komprimierung von Bildern und Sprachsignalen verwendet.

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad wobei \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (k) = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad wobei \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad wobei \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Rightarrow S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad wobei \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT ist definiert durch:

$ V (k) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ quad wobei \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad oder \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k), \ quad wobei \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Rightarrow V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad wobei \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $