DSP - Z-Transform gelöste Beispiele

Beispiel 1

Finden Sie die Antwort des Systems $ s (n + 2) -3s (n + 1) + 2s (n) = \ delta (n) $, wenn alle Anfangsbedingungen Null sind.

Solution - Wenn wir die Z-Transformation auf beiden Seiten der obigen Gleichung nehmen, erhalten wir

$$ S (z) Z ^ 2-3S (z) Z ^ 1 + 2S (z) = 1 $$

$ \ Rightarrow S (z) \ lbrace Z ^ 2-3Z + 2 \ rbrace = 1 $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {\ lbrace z ^ 2-3z + 2 \ rbrace} = \ frac {1} {(z-2) (z-1)} = \ frac {\ alpha _1} {z-2} + \ frac {\ alpha _2} {z-1} $

$ \ Rightarrow S (z) = \ frac {1} {z-2} - \ frac {1} {z-1} $

Nehmen wir die inverse Z-Transformation der obigen Gleichung

$ S (n) = Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-2}] - Z ^ {- 1} [\ frac {1} {Z-1}] $

$ = 2 ^ {n-1} -1 ^ {n-1} = -1 + 2 ^ {n-1} $

Beispiel 2

Finden Sie die Systemfunktion H (z) und die Einheitsprobenantwort h (n) des Systems, dessen Differenzgleichung wie folgt beschrieben ist

$ y (n) = \ frac {1} {2} y (n-1) + 2x (n) $

wobei y (n) und x (n) die Ausgabe bzw. Eingabe des Systems sind.

Solution - Nehmen wir die Z-Transformation der obigen Differenzgleichung

$ y (z) = \ frac {1} {2} Z ^ {- 1} Y (Z) + 2X (z) $

$ = Y (Z) [1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}] = 2X (Z) $

$ = H (Z) = \ frac {Y (Z)} {X (Z)} = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {- 1}]} $

Dieses System hat einen Pol bei $ Z = \ frac {1} {2} $ und $ Z = 0 $ und $ H (Z) = \ frac {2} {[1- \ frac {1} {2} Z ^ {-1}]} $

Wenn wir also die inverse Z-Transformation des Obigen nehmen, erhalten wir

$ h (n) = 2 (\ frac {1} {2}) ^ nU (n) $

Beispiel 3

Bestimmen Sie Y (z), n≥0 im folgenden Fall -

$ y (n) + \ frac {1} {2} y (n-1) - \ frac {1} {4} y (n-2) = 0 \ quad gegeben \ quad y (-1) = y ( -2) = 1 $

Solution - Wenn wir die Z-Transformation auf die obige Gleichung anwenden, erhalten wir

$ Y (Z) + \ frac {1} {2} [Z ^ {- 1} Y (Z) + Y (-1)] - \ frac {1} {4} [Z ^ {- 2} Y ( Z) + Z ^ {- 1} Y (-1) +4 (-2)] = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) + \ frac {1} {2Z} Y (Z) + \ frac {1} {2} - \ frac {1} {4Z ^ 2} Y (Z) - \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {4} = 0 $

$ \ Rightarrow Y (Z) [1+ \ frac {1} {2Z} - \ frac {1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1} {4Z} - \ frac {1} {2} $

$ \ Rightarrow Y (Z) [\ frac {4Z ^ 2 + 2Z-1} {4Z ^ 2}] = \ frac {1-2Z} {4Z} $

$ \ Rightarrow Y (Z) = \ frac {Z (1-2Z)} {4Z ^ 2 + 2Z-1} $