DSP - DFT-Zeitfrequenztransformation
Wir wissen, dass, wenn $ \ omega = 2 \ pi K / N $ und $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ eine kontinuierliche Variable wird und die Summierung $ - \ infty $ auf $ + \ infty $ begrenzt.
Deshalb,
$$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$Diskrete Zeit-Fourier-Transformation (DTFT)
Wir wissen, dass $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $
Wobei $ X (e ^ {j \ omega}) $ in ω und mit der Periode 2π stetig und periodisch ist. … Gleichung (1)
Jetzt,
$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … Aus Fourier-Reihen
$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N. } $
ω wird stetig und $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $ aus den oben genannten Gründen.
$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … Äq. (2)
Inverse diskrete Zeit-Fourier-Transformation
Symbolisch
$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (Das Fourier-Transformationspaar)
Die notwendige und ausreichende Bedingung für die Existenz einer diskreten Zeit-Fourier-Transformation für eine nichtperiodische Sequenz x (n) ist absolut summierbar.
dh $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $
Eigenschaften von DTFT
Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Leftrightarrow a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Time shifting- $ x (nk) \ Leftrightarrow e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $
Time Reversal- $ x (-n) \ Leftrightarrow X (e ^ {- j \ omega}) $
Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Leftrightarrow X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $
Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $
Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ mal X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Multiplication- $ x_1 (n) \ mal x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Co-relation- $ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $
Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $
Symmetry- $ x ^ * (n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;
$ x ^ * (- n) \ Leftrightarrow X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;
$ Real [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {gerade} (e ^ {j \ omega}) $;
$ Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {odd} (e ^ {j \ omega}) $;
$ x_ {gerade} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})] $;
$ x_ {odd} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;
Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $
Zuvor haben wir die Abtastung im Frequenzbereich untersucht. Mit diesem Grundwissen werden $ X (e ^ {j \ omega}) $ im Frequenzbereich abgetastet, sodass aus diesen abgetasteten Daten eine bequeme digitale Analyse durchgeführt werden kann. Daher wird DFT sowohl im Zeit- als auch im Frequenzbereich abgetastet. Mit der Annahme $ x (n) = x_p (n) $
Daher ist DFT gegeben durch -
$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N - 1 … Gleichung (3)
Und IDFT ist gegeben durch -
$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N - 1 … Gleichung (4)
$ \ also x (n) \ Leftrightarrow X (k) $
Twiddle-Faktor
Es wird als $ W_N $ bezeichnet und als $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $ definiert. Seine Größe wird immer auf Einheit gehalten. Phase von $ W_N = -2 \ pi / N $. Es ist ein Vektor auf einem Einheitskreis und wird zur Vereinfachung der Berechnung verwendet. Mathematisch kann es gezeigt werden als -
$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $
Es ist eine Funktion von r und Periode N.
Betrachten Sie N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….
$ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ Winkel 0 $
$ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ angle- \ frac {\ pi} {4} $
Lineare Transformation
Lassen Sie uns die lineare Transformation verstehen -
Wir wissen das,
$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N - 1 $
$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N - 1 $
Note- Die Berechnung der DFT kann mit N 2 -Komplexmultiplikation und N (N-1) -Komplexaddition durchgeführt werden.
$ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ Quad-Signal \ Quad x_N $
$ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ Quad-Signal \ Quad X_N $
$ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $
Die N-Punkt-DFT im Matrixterm ist gegeben durch - $ X_N = W_Nx_N $
$ W_N \ longmapsto $ Matrix der linearen Transformation
$ Nun ist \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $
IDFT in Matrixform ist gegeben durch
$$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$Vergleicht man beide Ausdrücke von $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ und $ W_N \ mal W_N ^ * = N [I] _ {N \ mal N} $
Daher ist $ W_N $ eine lineare Transformationsmatrix, eine orthogonale (einheitliche) Matrix.
Aus der periodischen Eigenschaft von $ W_N $ und aus seiner symmetrischen Eigenschaft kann geschlossen werden, dass $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $
Kreissymmetrie
Die N-Punkt-DFT einer endlichen Dauer x (n) der Länge N ≤ L entspricht der N-Punkt-DFT der periodischen Ausdehnung von x (n), dh $ x_p (n) $ der Periode N. und $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Wenn wir nun die Sequenz, die eine periodische Sequenz ist, um k Einheiten nach rechts verschieben, wird eine andere periodische Sequenz erhalten. Dies ist als Kreisverschiebung bekannt und dies ist gegeben durch:
$$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$Die neue endliche Folge kann dargestellt werden als
$$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {Fälle} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & Andernfalls \ end {Fälle} $$Example - Sei x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,
$ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, modulo \ quad N) \ äquiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ Quad Shift \ Quad und \ Quad N = 4, $
Angenommene Richtung im Uhrzeigersinn als positive Richtung.
Wir haben $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $
$ x \ prime (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4 $
$ x \ prime (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $
$ x \ prime (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1 $
$ x \ prime (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $
Conclusion - Die Kreisverschiebung der N-Punkt-Sequenz entspricht einer linearen Verschiebung ihrer periodischen Ausdehnung und umgekehrt.
Kreisförmig gerade Folge - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $
Konjugiere gerade - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $
Zirkular ungerade Folge - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $
$ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $
Konjugiere ungerade - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $
Nun ist $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, wobei
$ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $
$ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $
Für jedes reale Signal x (n) ist $ X (k) = X ^ * (Nk) $
$ X_R (k) = X_R (Nk) $
$ X_l (k) = -X_l (Nk) $
$ \ Winkel X (k) = - \ Winkel X (NK) $
Time reversal- Probe über die 0 Umkehren ten Probe. Dies ist gegeben als;
$ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $
Die Zeitumkehrung zeichnet Sequenzproben im Uhrzeigersinn, dh in der angenommenen negativen Richtung.
Einige andere wichtige Eigenschaften
Andere wichtige IDFT-Eigenschaften $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $
Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $
Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $
Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $
Complex conjugate properties - -
$ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad und $
$ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $
Multiplication of two sequence - -
$ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad und \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $
$ \ daher x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $
Circular convolution - und Multiplikation von zwei DFT
$ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2. ..., N-1 $
$ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $
Circular correlation - Wenn $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ und $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, dann existiert eine Kreuzkorrelationssequenz, die als $ \ bar Y_ {xy} $ bezeichnet wird, so dass $ \ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $
Parseval’s Theorem - Wenn $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ und $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;
$ \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $