DSP - DFT Lineare Filterung

DFT bietet einen alternativen Ansatz zur Zeitbereichsfaltung. Es kann verwendet werden, um eine lineare Filterung im Frequenzbereich durchzuführen.

Somit ist $ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n) $ .

Das Problem bei diesem Frequenzbereichsansatz besteht darin, dass $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ und $ H (\ omega) $ eine kontinuierliche Funktion von ω sind, was für die digitale Berechnung auf Computern nicht fruchtbar ist. DFT bietet jedoch eine abgetastete Version dieser Wellenformen, um den Zweck zu lösen.

Der Vorteil besteht darin, dass mit Kenntnissen über schnellere DFT-Techniken wie FFT ein rechnerisch effizienterer Algorithmus für die Berechnung digitaler Computer im Vergleich zum Zeitbereichsansatz entwickelt werden kann.

Betrachten Sie eine endliche Dauerfolge, $ [x (n) = 0, \ quad für, n <0 \ quad und \ quad n \ geq L] $ (verallgemeinerte Gleichung), die ein lineares Filter mit der Impulsantwort $ [h (n) anregt ) = 0, \ quad forn <0 \ quad und \ quad n \ geq M] $.

$$ x (n) y (n) $$ $$ Ausgabe = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk) $$

Aus der Faltungsanalyse geht hervor, dass die Dauer von y (n) L + M - 1 ist.

Im Frequenzbereich

$$ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) $$

Nun ist $ Y (\ omega) $ eine stetige Funktion von ω und wird mit einem Satz diskreter Frequenzen mit einer Anzahl unterschiedlicher Abtastwerte abgetastet, die gleich oder größer als $ L + M-1 $ sein müssen.

$$ DFT \ quad size = N \ geq L + M-1 $$

Mit $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,

$ Y (\ omega) = X (k) .H (k) $, wobei k = 0,1, ..., N-1

Wobei X (k) und H (k) N-Punkt-DFTs von x (n) bzw. h (n) sind. $ x (n) \ & h (n) $ werden mit Nullen bis zur Länge N aufgefüllt. Die kontinuierlichen Spektren $ X (\ omega) $ und $ H (\ omega) $ werden nicht verzerrt. Da $ N \ geq L + M-1 $ ist, reicht die N-Punkt-DFT der Ausgangssequenz y (n) aus, um y (n) im Frequenzbereich darzustellen, und diese Tatsachen schließen, dass die Multiplikation von N-Punkt-DFTs von X (k) ) und H (k), gefolgt von der Berechnung der N-Punkt-IDFT, müssen y (n) ergeben.

Dies impliziert, dass die N-Punkt-Kreisfaltung von x (n) und H (n) mit Nullauffüllung gleich der linearen Faltung von x (n) und h (n) ist.

Somit kann DFT zur linearen Filterung verwendet werden.

Caution- N sollte immer größer oder gleich $ L + M-1 $ sein. Andernfalls würde ein Aliasing-Effekt die Ausgabesequenz beschädigen.