DSP - Z-Transform Einführung
Für Energie- und Leistungssignale gibt es eine diskrete Zeit-Fourier-Transformation (DTFT). Die Z-Transformation existiert auch nur für Signale vom Typ Energie oder Leistung (NENP), bis zu einem gewissen Grad. Der Ersatz $ z = e ^ {jw} $ wird für die Umwandlung von Z-Transformation in DTFT nur für absolut summierbares Signal verwendet.
Die Z-Transformation des diskreten Zeitsignals x (n) in einer Potenzreihe kann also wie folgt geschrieben werden:
$$ X (z) = \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$Die obige Gleichung repräsentiert eine zweiseitige Z-Transformationsgleichung.
Wenn ein Signal Z-transformiert ist, kann es im Allgemeinen als - dargestellt werden
$$ X (Z) = Z [x (n)] $$Oder $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $
Wenn es sich um ein kontinuierliches Zeitsignal handelt, werden keine Z-Transformationen benötigt, da Laplace-Transformationen verwendet werden. Diskrete Zeitsignale können jedoch nur durch Z-Transformationen analysiert werden.
Region der Konvergenz
Konvergenzbereich ist der Bereich der komplexen Variablen Z in der Z-Ebene. Die Z-Transformation des Signals ist endlich oder konvergent. ROC repräsentiert also die Menge von Werten von Z, für die X (Z) einen endlichen Wert hat.
Eigenschaften von ROC
- ROC enthält keine Stange.
- Bei einem rechtsseitigen Signal befindet sich der ROC außerhalb des Kreises in der Z-Ebene.
- Für ein linksseitiges Signal befindet sich ROC innerhalb des Kreises in der Z-Ebene.
- Aus Stabilitätsgründen enthält ROC einen Einheitskreis in der Z-Ebene.
- Für beidseitiges Signal ist ROC ein Ring in der Z-Ebene.
- Für ein Signal mit endlicher Dauer ist ROC die gesamte Z-Ebene.
Die Z-Transformation ist einzigartig gekennzeichnet durch -
- Expression von X (Z)
- ROC von X (Z)
Signale und ihre ROC
| x (n) | X (Z) | ROC |
|---|---|---|
| $ \ delta (n) $ | $ 1 $ | Gesamte Z-Ebene |
| $ U (n) $ | $ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ a ^ nu (n) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ na ^ nu (n) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ U (n) \ cos \ omega n $ | $ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ U (n) \ sin \ omega n $ | $ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
Beispiel
Lassen Sie uns die Z-Transformation und den ROC eines Signals finden, das als $ x (n) = \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $ gegeben ist, wobei der Ursprung der Reihe bei 3 liegt.
Solution - Anwendung der Formel, die wir haben -
$ X (z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
$ = \ sum_ {n = -1} ^ 3 x (n) Z ^ {- n} $
$ = x (-1) Z + x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + x (3) Z ^ {- 3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {- 1} + 9Z ^ {- 2} + 5Z ^ {- 3} $
ROC ist die gesamte Z-Ebene ohne Z = 0, ∞, -∞