DSP - Z-Transformations-Existenz

Ein System mit Systemfunktion kann nur dann stabil sein, wenn alle Pole innerhalb des Einheitskreises liegen. Zunächst prüfen wir, ob das System kausal ist oder nicht. Wenn das System kausal ist, gehen wir zur Bestimmung der BIBO-Stabilität. Dabei bezieht sich die BIBO-Stabilität auf die begrenzte Eingabe für die begrenzte Ausgabebedingung.

Dies kann geschrieben werden als;

$ Mod (X (Z)) <\ infty $

$ = Mod (\ sum x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty $

Die obige Gleichung zeigt die Bedingung für die Existenz der Z-Transformation.

Die Bedingung für das Vorhandensein eines DTFT-Signals ist jedoch

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$

Beispiel 1

Versuchen wir, die Z-Transformation des Signals herauszufinden, die als gegeben ist

$ x (n) = - (- 0,5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $

$ = - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $

Solution - Hier ist für $ - (- 2) ^ nu (n) $ der ROC linksseitig und Z <2

Für $ 3 ^ nu (n) ist $ ROC rechtsseitig und Z> 3

Daher wird hier keine Z-Transformation des Signals existieren, da es keinen gemeinsamen Bereich gibt.

Beispiel 2

Versuchen wir, die Z-Transformation des Signals von herauszufinden

$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0,5) ^ nu (n) $

Solution - Hier ist für $ -2 ^ nu (-n-1) $ ROC des Signals linksseitig und Z <2

Für das Signal $ (0,5) ^ nu (n) ist $ ROC rechtsseitig und Z> 0,5

Der gemeinsame ROC wird also als 0,5 <Z <2 gebildet

Daher kann die Z-Transformation wie folgt geschrieben werden:

$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0,5Z) ^ {- 1}} \ rbrace $

Beispiel 3

Versuchen wir, die Z-Transformation des Signals herauszufinden, die als $ x (n) = 2 ^ {r (n)} $ angegeben ist

Solution- r (n) ist das Rampensignal. Das Signal kann also wie folgt geschrieben werden:

$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad und \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $

$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $

Hier ist für das Signal $ u (-n-1) $ und ROC Z <1 und für $ 2 ^ nu (n) $ mit ROC Z> 2.

Eine Z-Transformation des Signals wird also nicht existieren.

Z-Transformation für das Kausalsystem

Das Kausalsystem kann definiert werden als $ h (n) = 0, n <0 $. Für das Kausalsystem liegt der ROC außerhalb des Kreises in der Z-Ebene.

$ H (Z) = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {n = 0} ^ {\ Infty} h (n) Z ^ {- n} $

Erweitern der obigen Gleichung,

$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $

$ = N (Z) / D (Z) $

Für Kausalsysteme enthält die Erweiterung der Übertragungsfunktion keine positiven Potenzen von Z. Für das Kausalsystem darf die Reihenfolge des Zählers die Reihenfolge des Nenners nicht überschreiten. Dies kann geschrieben werden als

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad oder \ quad Finite $

Um die Stabilität des Kausalsystems zu gewährleisten, sollten sich die Pole der Übertragungsfunktion innerhalb des Einheitskreises in der Z-Ebene befinden.

Z-Transformation für das Anti-Kausal-System

Das antikausale System kann definiert werden als $ h (n) = 0, n \ geq 0 $. Für das Anti-Kausal-System sollten die Pole der Übertragungsfunktion außerhalb des Einheitskreises in der Z-Ebene liegen. Für das antikausale System befindet sich der ROC innerhalb des Kreises in der Z-Ebene.