DSP - Z-Transformationseigenschaften

In diesem Kapitel werden wir die grundlegenden Eigenschaften von Z-Transformationen verstehen.

Linearität

Es heißt, wenn zwei oder mehr einzelne diskrete Signale mit Konstanten multipliziert werden, werden ihre jeweiligen Z-Transformationen auch mit denselben Konstanten multipliziert.

Mathematisch,

$$ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $$

Proof - Das wissen wir,

$$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n)) Z ^ {- n} $

$ = a_1 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} + a_2 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $ (daher bewiesen)

Hier ist der ROC $ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $.

Zeitverschiebung

Die Zeitverschiebungseigenschaft zeigt, wie sich die Änderung des Zeitbereichs im diskreten Signal auf den Z-Bereich auswirkt, der wie folgt geschrieben werden kann:

$$ x (n-n_0) \ longleftrightarrow X (Z) Z ^ {- n} $$

Oder $ x (n-1) \ longleftrightarrow Z ^ {- 1} X (Z) $

Proof - -

Sei $ y (P) = X (PK) $

$ Y (z) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty (x (pk)) Z ^ {- p} $

Sei s = pk

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- (s + k)} $

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- s} Z ^ {- k} $

$ = Z ^ {- k} [\ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (m) Z ^ {- s}] $

$ = Z ^ {- k} X (Z) $ (daher bewiesen)

Hier kann ROC geschrieben werden als Z = 0 (p> 0) oder Z = ∞ (p <0)

Beispiel

U (n) und U (n-1) können wie folgt aufgetragen werden

Die Z-Transformation von U (n) kann wie folgt geschrieben werden:

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n)] Z ^ {- n} = 1 $

Die Z-Transformation von U (n-1) kann geschrieben werden als;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n-1)] Z ^ {- n} = Z ^ {- 1} $

Also hier $ x (n-n_0) = Z ^ {- n_0} X (Z) $ (daher bewiesen)

Zeitskalierung

Die Zeitskalierungseigenschaft sagt uns, was die Z-Domäne des Signals sein wird, wenn die Zeit in ihrer diskreten Form skaliert wird, die geschrieben werden kann als;

$$ a ^ nx (n) \ longleftrightarrow X (a ^ {- 1} Z) $$

Proof - -

Sei $ y (p) = a ^ {p} x (p) $

$ Y (P) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty a ^ px (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty x (p) [a ^ {- 1} Z] ^ {- p} $

$ = X (a ^ {- 1} Z) $ (daher bewiesen)

ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2) wobei Mod = Modul

Beispiel

Bestimmen wir die Z-Transformation von $ x (n) = a ^ n \ cos \ omega n $ mithilfe der Zeitskalierungseigenschaft.

Solution - -

Wir wissen bereits, dass die Z-Transformation des Signals $ \ cos (\ omega n) $ gegeben ist durch -

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (\ cos \ omega n) Z ^ {- n} = (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega) +1) $$

Unter Anwendung der Zeitskalierungseigenschaft kann nun die Z-Transformation von $ a ^ n \ cos \ omega n $ wie folgt geschrieben werden:

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a ^ n \ cos \ omega n) Z ^ {- n} = X (a ^ {- 1} Z) $

$ = [(a ^ {- 1} Z) ^ 2- (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n)] / ((a ^ {- 1} Z) ^ 2-2 (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n) +1) $

$ = Z (Za \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2) $

Sukzessive Differenzierung

Die Eigenschaft der sukzessiven Differenzierung zeigt, dass eine Z-Transformation stattfindet, wenn wir das diskrete Signal im Zeitbereich in Bezug auf die Zeit differenzieren. Dies wird wie folgt gezeigt.

$$ \ frac {dx (n)} {dn} = (1-Z ^ {- 1}) X (Z) $$

Proof - -

Betrachten Sie die LHS der Gleichung - $ \ frac {dx (n)} {dn} $

$$ = \ frac {[x (n) -x (n-1)]} {[n- (n-1)]} $$

$ = x (n) -X (n-1) $

$ = x (Z) -Z ^ {- 1} x (Z) $

$ = (1-Z ^ {- 1}) x (Z) $ (daher bewiesen)

ROC: R1 <Mod (Z) <R2

Beispiel

Finden wir die Z-Transformation eines Signals, das durch $ x (n) = n ^ 2u (n) $ gegeben ist

Durch Eigentum können wir schreiben

$ Zz [nU (n)] = -Z \ frac {dZ [U (n)]} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $

$ = Z / ((Z-1) ^ 2 $

$ = y (let) $

Jetzt kann Z [ny] herausgefunden werden, indem die Eigenschaft erneut angewendet wird.

$ Z (n, y) = -Z \ frac {dy} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [Z / (Z-1) ^ 3]} {dz} $

$ = Z (Z + 1) / (Z-1) ^ 2 $

Faltung

Dies zeigt die Änderung der Z-Domäne des Systems, wenn eine Faltung in der diskreten Signalform stattfindet, die geschrieben werden kann als -

$ x_1 (n) * x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (Z) .X_2 (Z) $

Proof - -

$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) x_2 (nk)] Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_n ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- n}] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (nk) Z ^ {- (nk)} Z ^ {- k}] $

Sei nk = l, dann kann die obige Gleichung wie folgt geschrieben werden:

$ X (Z) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [Z ^ {- k} \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x_2 (l) Z ^ {- l }] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) X_2 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_2 (Z) \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_1 (Z) .X_2 (Z) $ (daher bewiesen)

ROC: $ ROC \ bigcap ROC2 $

Beispiel

Finden wir die Faltung zweier Signale

$ x_1 (n) = \ lbrace 3, -2,2 \ rbrace $ ... (Gleichung 1)

$ x_2 (n) = \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad und \ quad 0 \ quad anderswo \ rbrace $ ... (Gleichung 2)

Die Z-Transformation der ersten Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} $

$ = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

Die Z-Transformation des zweiten Signals kann wie folgt geschrieben werden:

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 (n) Z ^ {- n} $

$ = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Die Faltung der beiden obigen Signale ist also gegeben durch -

$ X (Z) = [x_1 (Z) ^ * x_2 (Z)] $

$ = [3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2}] \ times [2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4 }] $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + ... \ quad ... \ quad ... $

Nehmen wir die inverse Z-Transformation, die wir erhalten,

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $

Anfangswert-Theorem

Wenn x (n) eine kausale Folge ist, deren Z-Transformation als X (z) vorliegt, kann der Anfangswertsatz wie folgt geschrieben werden:

$ X (n) (bei \ quad n = 0) = \ lim_ {z \ bis \ infty} X (z) $

Proof - Das wissen wir,

$ X (Z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

Wenn wir die obige Reihe erweitern, erhalten wir;

$ = X (0) Z ^ 0 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

$ = X (0) \ mal 1 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

Im obigen Fall, wenn Z → ∞, dann $ Z ^ {- n} \ rightarrow 0 $ (weil n> 0)

Deshalb können wir sagen;

$ \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) = X (0) $ (daher bewiesen)

Endwertsatz

Der Endwertsatz besagt, dass wenn die Z-Transformation eines Signals als X (Z) dargestellt wird und sich die Pole alle innerhalb des Kreises befinden, sein Endwert als x (n) oder X (∞) bezeichnet wird und als geschrieben werden kann - -

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ bis \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ bis 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $

Conditions - -

Sie gilt nur für Kausalsysteme.
$ X (Z) (1-Z ^ {- 1}) $ sollte Pole innerhalb des Einheitskreises in der Z-Ebene haben.

Proof - Das wissen wir

$ Z ^ + [x (n + 1) -x (n)] = \ lim_ {k \ bis \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Rightarrow Z ^ + [x (n + 1)] - Z ^ + [x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Rightarrow Z [X (Z) ^ + - x (0)] - X (Z) ^ + = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

Hier können wir die erweiterte Eigenschaft der einseitigen Z-Transformation anwenden. Die obige Gleichung kann also wie folgt umgeschrieben werden:

$ Z ^ + [x (n + 1)] = Z [X (2) ^ + - x (0) Z ^ 0] = Z [X (Z) ^ + - x (0)] $

Wenn wir nun z = 1 in die obige Gleichung setzen, können wir die obige Gleichung erweitern -

$ \ lim_ {k \ to \ infty} {[x (1) -x (0) + x (6) -x (1) + x (3) -x (2) + ... \ quad ... \ quad ... + x (x + 1) -x (k)]} $

Dies kann wie folgt formuliert werden:

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ bis \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ bis 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $ (daher bewiesen)

Beispiel

Finden wir den Anfangs- und Endwert von x (n), dessen Signal gegeben ist durch

$ X (Z) = 2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2} $

Solution - Finden wir zuerst den Anfangswert des Signals, indem wir den Satz anwenden

$ x (0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (Z) $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2}] $

$ = 2 + (\ frac {3} {\ infty}) + (\ frac {4} {\ infty}) = 2 $

Lassen Sie uns nun den Endwert des Signals finden, das den Satz anwendet

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) X (Z)] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) (2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2})] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ {- 1} + Z ^ {- 2} -4Z ^ {- 3}] $

$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $

Some other properties of Z-transform are listed below - -

Differenzierung in der Frequenz

Es gibt die Änderung der Z-Domäne des Signals an, wenn sein diskretes Signal in Bezug auf die Zeit differenziert wird.

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dX (z)} {dz} $

Sein ROC kann geschrieben werden als;

$ r_2 <Mod (Z) <r_1 $

Beispiel

Finden wir den Wert von x (n) durch Differenzierung der Frequenz, deren diskretes Signal in der Z-Domäne durch $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) = log (1 + aZ ^ {- 1}) $ gegeben ist

Durch Eigenschaft können wir das schreiben

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dx (Z)} {dz} $

$ = -Z [\ frac {-aZ ^ {- 2}} {1 + aZ ^ {- 1}}] $

$ = (aZ ^ {- 1}) / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ = 1-1 / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ nx (n) = \ delta (n) - (- a) ^ nu (n) $

$ \ Rightarrow x (n) = 1 / n [\ Delta (n) - (- a) ^ nu (n)] $