Digitale Signalverarbeitung - DFT Einführung

Wie die Fourier-Transformation mit kontinuierlichem Zeitsignal kann die Fourier-Transformation mit diskreter Zeit verwendet werden, um eine diskrete Sequenz in ihre äquivalente Frequenzdomänendarstellung und ihr diskretes LTI-Zeitsystem darzustellen und verschiedene Berechnungsalgorithmen zu entwickeln.

X (jω) in stetiger FT ist eine stetige Funktion von x (n). DFT befasst sich jedoch mit der Darstellung von x (n) mit Abtastwerten seines Spektrums X (ω). Daher ist dieses mathematische Werkzeug für die bequeme Darstellung rechnerisch von großer Bedeutung. Mit diesem Tool können sowohl periodische als auch nichtperiodische Sequenzen verarbeitet werden. Die periodischen Sequenzen müssen abgetastet werden, indem die Periode bis unendlich verlängert wird.

Frequenzbereichsabtastung

Aus der Einleitung geht hervor, dass wir wissen müssen, wie die Frequenzbereichsabtastung, dh die Abtastung X (ω), durchzuführen ist. Daher wird die Beziehung zwischen der abgetasteten Fourier-Transformation und der DFT auf folgende Weise hergestellt.

In ähnlicher Weise können periodische Sequenzen zu diesem Werkzeug passen, indem die Periode N bis unendlich verlängert wird.

Eine nichtperiodische Folge sei $ X (n) = \ lim_ {N \ bis \ infty} x_N (n) $

Definieren seiner Fourier-Transformation,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

Hier wird X (ω) periodisch in jedem δω-Bogenmaßintervall abgetastet.

Da X (ω) im 2π-Bogenmaß periodisch ist, benötigen wir Abtastwerte nur im Grundbereich. Die Proben werden nach äquidistanten Intervallen im Frequenzbereich 0 ≤ ω ≤ 2π entnommen. Der Abstand zwischen äquivalenten Intervallen beträgt $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ radian.

Jetzt wird $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ ausgewertet

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

wo k = 0,1, …… N-1

Nachdem Sie das Obige unterteilt und die Reihenfolge der Summierung vertauscht haben

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {n = 0} ^ {N-1} [\ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {l = - \ Infty} ^ \ Infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... Gleichung (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = eine \ Quad-periodische \ Quad-Funktion \ Quad von \ Quad-Periode \ Quad N \ Quad und \ Quad sein \ Quad-Fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

wobei n = 0,1,… .., N-1; 'p'- steht für periodische Entität oder Funktion

Die Fourier-Koeffizienten sind:

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... Gleichung (4)

Wenn wir die Gleichungen 3 und 4 vergleichen, erhalten wir;

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... Gleichung (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ displaystyle \ sum \ limit_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... Gleichung (6)

Aus der Fourier-Reihenerweiterung

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

Wobei n = 0,1,…, N-1

Hier haben wir das periodische Signal von X (ω) erhalten. $ x (n) $ kann nur aus $ x_p (n) $ extrahiert werden, wenn im Zeitbereich kein Aliasing vorhanden ist. $ N \ geq L $

N = Periode von $ x_p (n) $ L = Periode von $ x (n) $

$ x (n) = \ begin {Fälle} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & Andernfalls \ end {Fälle} $

Das Mapping wird auf diese Weise erreicht.

Eigenschaften von DFT

Linearität

Es besagt, dass die DFT einer Kombination von Signalen gleich der Summe der DFT einzelner Signale ist. Nehmen wir zwei Signale x ₁ (n) und x ₂ (n), deren DFTs X ₁ (ω) bzw. X ₂ (ω) sind. Also, wenn

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ und $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

Dann $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

wo a und b sind Konstanten.

Symmetrie

Die Symmetrieeigenschaften von DFT können auf ähnliche Weise abgeleitet werden wie die DTFT-Symmetrieeigenschaften. Wir wissen, dass die DFT der Sequenz x (n) mit X (K) bezeichnet wird. Wenn nun x (n) und X (K) komplexwertige Sequenzen sind, kann sie wie folgt dargestellt werden

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

Und $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

Dualitätseigenschaft

Betrachten wir ein Signal x (n), dessen DFT als X (K) angegeben ist. Die endliche Dauer sei X (N). Dann nach dem Dualitätssatz,

Wenn, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Dann ist $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

Wenn wir also diesen Satz verwenden, wenn wir DFT kennen, können wir leicht die endliche Dauerfolge finden.

Komplexe Konjugateigenschaften

Angenommen, es gibt ein Signal x (n), dessen DFT uns auch als X (K) bekannt ist. Wenn nun das komplexe Konjugat des Signals als x * (n) angegeben wird, können wir die DFT leicht finden, ohne viel zu berechnen, indem wir den unten gezeigten Satz verwenden.

Wenn, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Dann ist $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

Kreisfrequenzverschiebung

Die Multiplikation der Folge x (n) mit der komplexen Exponentialfolge $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ entspricht der Kreisverschiebung der DFT um L Frequenzeinheiten. Dies ist die Eigenschaft der doppelten zur zirkulären Zeitverschiebung.

Wenn, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Dann ist $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

Multiplikation von zwei Sequenzen

Wenn es zwei Signale x ₁ (n) und x ₂ (n) gibt und ihre jeweiligen DFTs X ₁ (k) und X ₂ (K) sind, entspricht die Multiplikation von Signalen in zeitlicher Reihenfolge einer zirkulären Faltung ihrer DFTs.

Wenn $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

Satz von Parseval

Für komplexwertige Sequenzen x (n) und y (n) im Allgemeinen

Wenn $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

Dann ist $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $