DSP - Z-Transform Inverse
Wenn wir ein System, das bereits im Frequenzbereich dargestellt ist, als diskretes Zeitsignal analysieren wollen, dann entscheiden wir uns für die inverse Z-Transformation.
Mathematisch kann es dargestellt werden als;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$Dabei ist x (n) das Signal im Zeitbereich und X (Z) das Signal im Frequenzbereich.
Wenn wir die obige Gleichung im Integralformat darstellen wollen, können wir sie als schreiben
$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ Salbe X (Z) Z ^ {- 1} dz $$Hier befindet sich das Integral über einem geschlossenen Pfad C. Dieser Pfad befindet sich innerhalb des ROC von x (z) und enthält den Ursprung.
Methoden zum Finden der inversen Z-Transformation
Wenn die Analyse im diskreten Format benötigt wird, konvertieren wir das Frequenzbereichssignal durch inverse Z-Transformation zurück in das diskrete Format. Wir folgen den folgenden vier Möglichkeiten, um die inverse Z-Transformation zu bestimmen.
- Lange Teilungsmethode
- Teilfraktionsexpansionsmethode
- Rest- oder Konturintegralmethode
Lange Teilungsmethode
Bei diesem Verfahren kann die Z-Transformation des Signals x (z) als das Verhältnis des Polynoms dargestellt werden, wie unten gezeigt;
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$Wenn wir nun den Zähler durch den Nenner teilen, erhalten wir eine Reihe wie unten gezeigt
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$Die obige Sequenz repräsentiert die Reihe der inversen Z-Transformation des gegebenen Signals (für n ≥ 0) und das obige System ist kausal.
Für n <0 kann die Reihe jedoch wie folgt geschrieben werden:
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$Teilfraktionsexpansionsmethode
Auch hier wird das Signal zuerst in N (z) / D (z) -Form ausgedrückt.
Wenn es sich um einen rationalen Bruch handelt, wird er wie folgt dargestellt:
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $
Das obige ist unpassend, wenn m <n und an ≠ 0 sind
Wenn das Verhältnis nicht richtig ist (dh nicht korrekt), müssen wir es in die richtige Form konvertieren, um es zu lösen.
Integralmethode für Rückstände oder Konturen
Bei dieser Methode erhalten wir die inverse Z-Transformation x (n) durch Summieren von Resten von $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ an allen Polen. Mathematisch kann dies ausgedrückt werden als
$$ x (n) = \ Anzeigestil \ Summe \ Grenzen_ {alle \ Quad-Pole \ Quad X (z)} Reste \ Quad von [x (z) Z ^ {n-1}] $$Hier ist der Rest für jeden Pol der Ordnung m bei $ z = \ beta $
$$ Residues = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$