Complemento ortogonal a la función continua

Question

Pregunta: Suponga$C[−1, 1]$ es el espacio vectorial de funciones continuas de valor real en el intervalo $[−1, 1]$ con producto interior dado por $\langle f, g\rangle = \int_{a}^b f(x)g(x)dx$

Dejar $U = {f ∈ C[−1, 1] : f(0) = 0}$ ser el subespacio de $C[−1, 1]$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Justifica tu respuesta.

(un) $C[−1, 1] = U ⊕ U^\bot$

(segundo) $U^\bot = \{0\}$

(C) $U^\bot$ es un subespacio adecuado y no trivial de $C[−1, 1]$

Dificultad: Estoy seguro de que la opción (b) es correcta pero no puedo escribir una prueba de ella. También la opción (a) es válida para el subespacio de dimensión finita, pero no estoy en lo correcto al respecto.

Answer 1

Sugerencia: si $g \in U^{\perp}$ luego $\int fg=0$ para todos $f \in U$. Dejar$f_n(x)=g(x)$ para $|x| >\frac1 n$, $f_n(0)=0$ y $f_n$ tener un gráfico de línea recta en $[-\frac 1 n ,0]$ tanto como $[0, \frac 1 n]$. Luego$\int g f_n=0$ y dejando $n \to \infty$ rendimientos $\int g^{2}=0$. Por lo tanto$g=0$. Esto resultó b).

Es obvio de (b) que (a) es falso. La función constante$1$está en LHS pero no en RHS. (c) también es respondida por (b).