Funciones que no son continuas / suaves

Question

Dejar $\mathbf{FinVec}$ denotar la categoría de espacios vectoriales reales de dimensión finita y mapas lineales, sea $F\colon\mathbf{FinVec}\rightarrow\mathbf{FinVec}$ser un functor. Por cada par de objetos$V,W$, el Hom-set $\operatorname{Hom}(V,W)$es en sí mismo un espacio vectorial de dimensión finita y lo equipamos con la estructura única de un espacio topológico / de una variedad suave que es compatible con su estructura de espacio vectorial. Los mapas de composición son entonces continuos / suaves. De esta manera, vemos$\mathbf{FinVec}$ como enriquecido sobre la categoría $\mathbf{Top}$/$\mathbf{Diff}$respectivamente. Entonces tiene sentido preguntar si el functor$F$ se enriquece sobre $\mathbf{Top}$/$\mathbf{Diff}$. Eso es solo para preguntar si el mapa inducido$F\colon\operatorname{Hom}(V,W)\rightarrow\operatorname{Hom}(FV,FW)$ es continuo / suave para todos $V,W$.

(Irrelevante para el resto de la pregunta, pero la razón por la que esta noción es útil es que es la hipótesis natural que asegura que el funtor induce otro funtor en la categoría de paquetes de vectores topológicos / suaves, aplicando el funtor original por fibra).

En el caso $V=W$, por funcionalidad, podemos restringir $F$ a un homomorfismo grupal $\operatorname{GL}(V)\rightarrow\operatorname{GL}(V)$. Si el functor es continuo / suave, también lo es este mapa. Tenga en cuenta que$\operatorname{GL}(V)$es un grupo de mentiras. Es un resultado general que un homomorfismo de grupo medible entre grupos de Lie es automáticamente suave. Esto plantea las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es un argumento para la existencia de functores que no son continuos? ¿Podemos construir uno? Dado lo anterior, o bien ocurre que las restricciones a$\operatorname{GL}(V)\rightarrow\operatorname{GL}(V)$ son continuos y la continuidad falla en otros lugares, o los mapas inducidos no serán medibles, por lo que la construcción necesariamente tendrá que involucrar elección hasta cierto punto.
2. ¿Hay functores continuos que no son suaves? Dado lo anterior, un functor continuo tendrá restricciones suaves para$\operatorname{GL}(V)\rightarrow\operatorname{GL}(V)$, pero la suavidad puede fallar en otros lugares.

Answer 1

Reinstate Monica da una construcción en los comentarios a la pregunta que vinculé en los comentarios (no puedo cerrar como un duplicado porque esa pregunta no tiene respuestas a favor o aceptadas): primero, la categoría $\text{FinVec}(\mathbb{C})$ de espacios vectoriales complejos de dimensión finita tiene endofunctores discontinuos dados al retroceder a lo largo de automorfismos discontinuos $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$. En segundo lugar, estos dan lugar a endofunctores discontinuos de$\text{FinVect}(\mathbb{R})$ dado al complejizar, aplicar uno de estos automorfismos, luego restringir de nuevo a un espacio vectorial real de dos veces la dimensión.

Sospecho que cada endofunctor continuo es suave y, de hecho, sospecho que cada endofunctor continuo es una suma (posiblemente infinita) de functores de Schur y, por lo tanto, incluso polinomio (por lo que me refiero a los mapas inducidos$\text{Hom}(V, W) \to \text{Hom}(F(V), F(W))$son polinomios; hay algunas otras definiciones posibles y no creo que estén de acuerdo en general). El "posiblemente infinito" es manejar ejemplos como el álgebra exterior$V \mapsto \wedge^{\bullet}(V)$.