Producto de dos pares NDR

Question

Esta es una pregunta sobre un lema en la Topología algebraica de May, afirmando que si $(X,A)$ y $(Y,B)$ son pares NDR, entonces también lo es $(X\times Y,X\times B\cup A\times Y)$.

Por definición $(X,A)$ es un par NDR si existe un mapa $u:X\to I$ y una homotopia $h:X\times I\to X$ tal que $u^{-1}(0)=A$ y $h(x,0)=x$ para todos $x\in X$, $h(a,t)=a$ para todos $a\in A$ y $t\in I$y $h(x,1)\in A$ para todos $x\in u^{-1}([0,1))$.

Suponer $(h,u)$ y $(j,y)$ representar $(X,A)$ y $(Y,B)$ como pares NDR y definir $k:X\times Y\times I\to X\times Y$ Dejando $$k(x,y,t)=\begin{cases} (h(x,t),j(y,tu(x)/v(y)))&\text{if }v(y)\geq u(x)\\ (h(x,tv(y)/u(x)),j(y,t))&\text{if }u(x)\geq v(y). \end{cases} $$ Entendemos $u(x)/v(y)=1=v(y)/u(x)$ Si $u(x)=v(y)=0$. Mi pregunta es: ¿Cómo podemos comprobar la continuidad de$k$?

Answer 1

Tienes que demostrar eso $k$ es continuo en los subconjuntos $C$ y $D$ de $X\times Y\times I$ definido por $v(y)\ge u(x)$ y $u(x)\ge v(y)$ respectivamente, y las definiciones coinciden $C\cap D$. Eso es suficiente, ya que$C$ y $D$ están cerrados en $X\times Y\times I$. También está claro que en la intersección coinciden, por lo que todo lo que se necesita demostrar es que$k$ es continuo en $C$ y en $D$.

Las pruebas para ambos serán similares, así que concentrémonos en $C$. Creo que está claro que$k$ es continuo en todos los puntos con $v(y)>0$, tómalo $P=(x_0,y_0,t_0)$ con $u(x_0)=v(y_0)=0$, es decir $x_0\in A$ y $y_0\in B$. Ciertamente$h(x,t)$ es continuo en $P$, entonces preguntamos si $j(y,tu(x)/v(y))$es también. Esto se deducirá de la continuidad de$tu(x)/v(y)$. Tenga en cuenta que tomamos$t_0u(x_0)/v(y_0)$ ser - estar $t_0$.

Dejar $U$ ser un barrio de $t_0$ en $I$. Por la continuidad de$u$ y $v$, basta para demostrar que $$E=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1,t(r/s)\in U\}$$ está abierto en $$F=\{(r,s,t):0\le r\le s\le1,0\le t\le 1\}.$$ De la convención que $0/0=1$, $$E=\{(0,0,t):t\in U\}\cup\{(r,s,t)\in F,s>0,rt/s\in U\}$$ que está abierto en $F$.