अधिकतम संभव मूल्य क्या है $E[X_1 X_2 X_3]$?

Question

मान लीजिये $X_1,X_2,X_3$ असतत रैंडम वैरिएबल एक सामान्य प्रायिकता स्थान पर परिभाषित होते हैं $\Omega$ और मूल्यों को ले रहा है $\{-1,1\}$। इसके अलावा, यह मान लें$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$। इसे देखते हुए, अधिकतम संभव मूल्य क्या है$E[X_1 X_2 X_3]$?

यह देखना आसान है $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ प्रत्येक के लिए $i,j \in I_3 (i \neq j)$। लेकिन मैं आगे कैसे बढ़ूं? किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।

Answer 1

चलो $a=E[X_1 X_2 X_3]$

बेशक हमारे पास है $-1 \le a \le 1$

इस पैरामीरिजेशन के बाद हम संयुक्त संभाव्यता को लिख सकते हैं

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ जो अतिरिक्त प्रतिबंध देता है $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ या $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ तथा $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

लेकिन यह अधिकतम के लिए मूल उम्मीदवार द्वारा सत्यापित है ($a=1$)

इसलिए अधिकतम है $E[X_1 X_2 X_3]=1$ जिसके द्वारा प्राप्त किया जाता है

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

Answer 2

आज्ञा देना चार संभावना के साथ प्रत्येक राज्य है $1 \over 4$: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$।

आप जाँच सकते हैं कि स्थितियाँ क्या हैं। हालाँकि,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

जो स्पष्ट रूप से उच्चतम मूल्य है जो यह अभिव्यक्ति ले सकता है।