अगर $r>0$ तथा $r\notin \mathbb{N}$, मूल्यांकन करने के लिए एक सरल विधि है $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$
चलो $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$। जाहिर है, मैंने निम्नलिखित संबंध देखा है:$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$विशेष रूप से, $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$। ध्यान दें कि यदि$r$ एक पूर्णांक है, परिमित राशि अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, हालांकि हमारे पास है $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$तो इस अर्थ में योग 'रद्द' है। Mathematica, का बंद-रूप लौटाता है$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$जो जब $r\in\mathbb{N}$इस सवाल को कम कर देता है , लेकिन मुझे नहीं पता कि मुझे खुद को कैसे निकालना है। हो सकता है कि मैं वहां के जवाबों को पूरी तरह से नहीं समझ पा रहा हूं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि वही तरकीबें लागू होती हैं जब योग दूरबीन नहीं करता है। इसलिए सारांश में, मेरे प्रश्न हैं:
- क्या कोई बंद-रूप की व्याख्या कर सकता है?
- क्या एक साधारण, वैचारिक कारण है जो परिमित योग अनंत राशि का ऋणात्मक है?
जवाब
यहाँ से कुल योग की गणना है $n=0$ सेवा मेरे $\infty$, जो परिमित राशि की गणना करने का एक तरीका हो सकता है। जबसे$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$ कहां है $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, अपने पास $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ विशेष रूप से, $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ इसलिए, हम मूल्यांकन करना चाहते हैं $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ विचार करें $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ हमारे पास है $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ भी, $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ और इसलिए हमारी पहचान है $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ जब कभी $r>1$।