आंशिक अंतर समीकरणों के चर को अलग करते समय क्या हम कोई समाधान खो देते हैं?
उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें $$\frac{\partial u}{\partial t} = k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\hspace{0.5cm} u(x,0)=f(x),\hspace{0.5cm} u(0,t)=0,\hspace{0.5cm} u(L,t)=0$$पाठ्यपुस्तकें (जैसे, पॉल के ऑनलाइन नोट्स ) आमतौर पर वैरिएबल के पृथक्करण को लागू करते हैं, ऐसा मानते हुए$u(x,t)=\varphi(x)G(t)$ बिना किसी स्पष्टीकरण के यह धारणा क्यों बनाई जा सकती है।
क्या हम इस तरह से दिए गए समाधानों को खो देते हैं कि दो चर होते हैं $x$ तथा $t$ व्यक्तिगत चर के कार्यों के उत्पाद नहीं हैं?
चरों का पृथक्करण निम्नलिखित समाधान देता है जब हम केवल सीमा स्थितियों पर विचार करते हैं: $$u_n(x,t) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t},\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
समीकरण रैखिक है, इसलिए हम एक सुपरपोजिशन ले सकते हैं $u_n$: $$u(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}B_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2t}$$ कहां है $B_n$ प्रारंभिक स्थिति से पाए जाते हैं: $$B_n = \frac{2}{L}\int\limits_0^Lf(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx,\hspace{0.5cm}n=1,2,3,\dotsc.$$
क्या कोई उपाय हैं? $u(x,t)$इसका इस तरह से प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है (इस विशेष पीडी के लिए नहीं बल्कि सामान्य रूप से) गैर-रेखीय समीकरणों के मामले में क्या होता है? क्या हम वहाँ चरों का पृथक्करण लागू कर सकते हैं?
जवाब
अपने कथित समाधान पर विचार करें $u(x,t)$ नियत पर $t$, यानी, इसे केवल एक फ़ंक्शन के रूप में सोचें $x$। इस तरह के एक समारोह को कार्यों के एक पूरे सेट में विस्तारित किया जा सकता है$f_n (x)$, $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n f_n (x) $$ क्या होता है जब आप अब एक अलग तय करते हैं $t$? जब तक सीमा की स्थिति में$x$ दिशा नहीं बदलती (जो आपके उदाहरण में मामला है), आप अभी भी उसी सेट में विस्तार कर सकते हैं $f_n (x)$, तो एकमात्र जगह जहां $t$-निर्भरता गुणांक में है $u_n $ - वे क्या परिवर्तन हैं जब आप एक अलग फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं $x$ के एक ही सेट में $f_n (x)$। तो की पूरी कार्यात्मक निर्भरता$u(x,t)$ के रूप में लिखा जा सकता है $$ u(x,t)=\sum_{n} u_n (t) f_n (x) $$इस प्रकार, जब हम एक पृथक्करण ansatz बनाते हैं, तो हम यह नहीं मान रहे हैं कि हमारे समाधान उत्पाद हैं। हम केवल यह कह रहे हैं कि हम उत्पाद के आधार का निर्माण कर सकते हैं जिसमें हमारे समाधान का विस्तार किया जा सकता है। यह समस्याओं के एक बड़े वर्ग के लिए प्रतिबंध नहीं है। जैसा कि पूर्ववर्ती तर्क से स्पष्ट है, यह गलत हो जाता है जब सीमा की स्थिति में$x$ दिशा पर निर्भर करते हैं $t$ - तब हम एक ही सेट में विस्तार नहीं कर सकते $f_n (x)$ प्रत्येक के लिए $t$। उदाहरण के लिए, यदि डोमेन त्रिकोणीय था, तो इसकी लंबाई$x$-इन्टुवल पर निर्भर करता है $t$, आपके उदाहरण में साइन कार्यों में आवृत्तियों बन जाएगा $t$-निर्भर
जैसा कि आपने सही ढंग से उल्लेख किया है, अंत में हम अपने समाधान को वियोज्य समाधानों के एक सुपरपोजिशन के रूप में लिखते हैं, इसलिए सही प्रश्न 'क्या हम अलग-अलग समाधानों के योग के रूप में अपने पीडीई के लिए हर समाधान व्यक्त कर सकते हैं?'
इस सवाल का एक पूरी तरह से जवाब थोड़ा रैखिक बीजगणित की आवश्यकता है। हम जो करना चाहते हैं वह कार्यों का एक समूह है$\{\varphi_n(x): n \in \mathbb{N}\}$ ताकि हर बार $t$ हमारा समाधान लिखें $f$ जैसा $f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$ जहां $G_n$बस कुछ गुणांक हैं जो समय पर निर्भर करने की अनुमति है। न केवल ऐसे कार्यों का एक सेट मौजूद है, हम वास्तव में चर के पृथक्करण की प्रक्रिया के माध्यम से इन कार्यों का एक सेट पा सकते हैं।
आइए गर्मी के समीकरण पर फिर से विचार करें। जब हम भिन्न होते हैं, तो हम स्थिति को दो ODE तक घटा देते हैं:
$$G'(t) = EG(t), \varphi''(x) = \frac{E}{k}\varphi(x) $$ कहां है $E$ कुछ अज्ञात स्थिर है।
याद रखें कि विभेद रैखिक है: अर्थात, कार्यों के लिए $f$ तथा $g$ और स्थिरांक $a,b$ अपने पास $\frac{d}{dx}(af(x)+bg(x)) = a\frac{df}{dx} + b \frac{dg}{dx}$। इसका मतलब यह है कि हमारे दो ओडीई eigenvalue समस्याएं हैं: हमारे पास ऑपरेटर के लिए एक eigenvalue समस्या है$\frac{d}{dx}$ eigenvalue के साथ $E$, और ऑपरेटर के लिए एक eigenvalue समस्या $\frac{d^2}{dx^2}$ eigenvalue के साथ $\frac{E}{k}$।
हम के eigenvectors की जरूरत है $\frac{d^2}{dx^2}$ (यानी हमारे समाधान $\varphi$ODE) हमारे कार्यों के स्थान के लिए एक आधार बनाने के लिए। सौभाग्य से, एक प्रमेय है जो हमारे लिए इस तरह का काम करता है।
स्पेक्ट्रल प्रमेय :
चलो $V$ एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष और हो $T: V \to V$a (पर्याप्त रूप से अच्छा) आत्म-सहायक मानचित्र। फिर इसके लिए एक अलौकिक आधार मौजूद है$V$ जो के लिए eigenvectors के होते हैं $T$।
इसे समझने के लिए, हमें एक अंतिम घटक की आवश्यकता है: एक आंतरिक उत्पाद। यह केवल कुछ है जो तीन आयामों में परिचित ` डॉट उत्पाद 'को सामान्य करता है । दो कार्यों का आंतरिक उत्पाद$f$, $g$ एक वास्तविक संख्या है, जिसे परिभाषित किया गया है $$\langle f,g\rangle := \int_{0}^{\infty} f(x)g(x) dx$$।
कार्यों का एक आधार $\{f_n: n \in \mathbb{N}\}$कहा जाता है कि अगर असामान्य है$\langle f_n, f_n \rangle = 1$ तथा $\langle f_n, f_m \rangle = 0$ कब अ $n \neq m$।
अंत में, हमें बस उस ऑपरेटर को जांचना होगा $\frac{d}{dx}$स्वयंभू है। इसका मतलब यह है कि किसी भी दो कार्यों के लिए$f$, $g$ हमारे पास वह है $\langle \frac{d^2 f}{dx^2},g\rangle = \langle f,\frac{d^2g}{dx^2} \rangle$। यह भागों द्वारा एकीकरण द्वारा किया जा सकता है:
$$\int_{0}^{L} f''(x)g(x) dx = - \int_{0}^{L} f'(x)g'(x) dx = \int_{0}^{L} f(x)g''(x) dx$$ जहाँ हमने सीमा शब्द फेंके हैं क्योंकि सीमा की स्थिति हमें बताती है कि वे शून्य हैं।
इसलिए, ऑपरेटर $\frac{d^2}{dx^2}$ स्व-आसन्न है, और इसलिए वर्णक्रमीय प्रमेय हमें बताता है कि इसके आइजनवेक्टर हमारे कार्य स्थान के लिए एक आधार बनाते हैं, इसलिए किसी भी दिए गए $t$हम किसी भी चुने हुए कार्य को व्यक्त कर सकते हैं$$f = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(x) G_n(t)$$इस प्रकार, हमने कोई समाधान नहीं खोया है कि हम इस तरह से समीकरण लिख सकें। मैंने यहां कुछ तकनीकी मुद्दों को छोड़ दिया है: मैंने आपको यह नहीं बताया कि हिल्बर्ट स्पेस क्या है, और जब मैं 'कोई' फ़ंक्शन कहता हूं, तो मेरा वास्तव में मतलब है 'किसी भी वर्ग-पूर्णांक' फ़ंक्शन। लेकिन मुझे नहीं लगता कि ये तकनीकी समझ में महत्वपूर्ण हैं।
एक मजेदार अतिरिक्त के रूप में, अब जब हमारे पास हमारे आंतरिक उत्पाद हैं, तो हम इसका उपयोग केवल हमारे श्रृंखला समाधान में गुणांक प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं। हम अपना समाधान लिखते हैं$$f(x,t) = \sum_{n=0}^{\infty} \varphi_n(t) G_n(x)$$ और अब के आंतरिक उत्पाद लेने देता है $f$ आधार तत्व के साथ $\varphi_n(x)$। यह हमें देता है
$$\langle f(x,0), \varphi_n(x) = \langle \sum_{k=0}^{\infty} \varphi_k(x) G_k(0), \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} G_k(0) \langle \varphi_k(x) , \varphi_n(x) \rangle $$
यहां हमने एकीकरण और योग को परस्पर जोड़ा है। अंत में, आधार की अलंकारिकता$\{\varphi_k(x)\}$ इसका मतलब है कि सभी शब्द लेकिन एक शून्य हैं, इसलिए हम प्राप्त करते हैं $$ \langle f(x,0), \varphi_n(x) = G_n(0) $$ याद करें कि $G_n(t) = B_n e^{-k\frac{n\pi}{L}^2 t}$, इसलिए $B_n = G_n(0)$ और एक अभिन्न के रूप में हमारे आंतरिक उत्पाद सूत्र को लिखना, हमें मिलता है $$\int_{0}^{L} f(x,0) \varphi_n(x) dx = \int_{0}^{L} f(x,0) \sin(\frac{n\pi x}{L}) dx $$ जो श्रृंखला गुणांक के लिए हमारी सामान्य अभिव्यक्ति है!
चर के पृथक्करण की विधि समीकरण के समरूपता से निकलती है, उदाहरण के लिए डब्ल्यू मिलर की पुस्तक समरूपता और पृथक्करण की चर (प्रिंट से बाहर, लेकिन यहां उपलब्ध है ) देखें।
Nonlinear समीकरणों के लिए चर का अलग-अलग व्यवहार विक्टर ए। गैलाक्विटनोव, सर्गेई आर। Svirshchevskii ने अपनी पुस्तक Exact Solutions और Nonlinear आंशिक विभेद समीकरण , Chapman और Hall / CRC 2007 के Invariant Subspaces में किया है ।