$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ और अनंत

Question

एक सवाल:

1. अगर की परिभाषा $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ और यह गैर-रिक्त है, तो क्या इसका मतलब यह है कि इसके तत्व अनंत चौराहे के हैं $A_n$ या के किसी भी परिमित चौराहे $A_n$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए?

आगे विस्तार करने के लिए, मैं यह बताना चाहूंगा कि इस भ्रामक धारणा के प्रति मुझे कैसा लग रहा है $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$।

विश्लेषण स्टीवन एबॉट को समझना

उदाहरण 1.2.2 जिसमें यह परिभाषित करता है $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$। प्रेरण द्वारा, यह प्रत्येक परिमित चौराहों के लिए गैर-रिक्त है। लेकिन विरोधाभास द्वारा एक सबूत दिखा सकता है कि जब यह अनंत मामले में जाता है , जो संकेतन का उपयोग करता है$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, यह एक अशक्त सेट है। दूसरे शब्दों में, इस उदाहरण में, इस धारणा का उपयोग अनंत चौराहे के लिए किया जाता है।

प्रमेय 1.4.1 जिसमें यह नेस्टेड अंतराल संपत्ति साबित होता है। $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$। यहां, यह निर्दिष्ट नहीं है कि यह अनंत चौराहा है या नहीं। इसके बजाय, यह कहा,$\exists x\forall n\in N x\in I_n$। इसलिए, वह$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$। दूसरे शब्दों में, इस उदाहरण में, इस अंकन का उपयोग प्रत्येक परिमित प्राकृतिक संख्या के लिए किया जाता है

प्रमेय 1.5.8 का कहना है कि अगर$A_n$ प्रत्येक के लिए एक गणनीय सेट है $n\in N$, तब फिर $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$गणनीय है। दूसरे शब्दों में, इस उदाहरण में, इस धारणा का उपयोग अनंत चौराहे के लिए किया जाता है।

मैं इस अर्थ में इस धारणा से उलझन में हूं कि संकेतन में अनंत का संकेत शामिल है लेकिन इसकी परिभाषा का अर्थ है प्रत्येक प्राकृतिक संख्या। इसलिए, जब भी मैं इसे देखता हूं, मुझे नहीं पता कि कौन सा आवेदन करना है।

कहो तो मैं उस दिशा के लिए जाऊं जिसमें यह लागू है $\forall n\in N$, तो इंडक्शन काम करना चाहिए क्योंकि इंडक्शन बिल्कुल वही काम कर रहा है! हालाँकि, यह पोस्ट अन्यथा कहकर सुझाव देती है कि अंकन अनंत के बारे में है ।

ठीक है, मैं दिशा बदल देता हूं जिसमें यह अनंत चौराहे के बारे में है। लेकिन फिर कुछ मामलों में, उदाहरण के लिए, जो मैंने ऊपर सूचीबद्ध किया था, किसी तरह अगर सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए कुछ लागू होता है, तो इस संकेतन का हिस्सा बनना ठीक है।

तो संक्षेप में, मुझे लगता है कि इस संकेतन के 2 परस्पर विरोधी अर्थ हैं

1. $\forall n\in N$
2. अनंत

मैंने पहले भी शोध किए हैं और प्रश्न पूछे हैं लेकिन मुझे अभी भी समझ में नहीं आया है। इसलिए मुझे लगता है कि मुझे कुछ गलत मिला और कुछ परिभाषाओं में उलझा हुआ।

Answer 1

$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$एक सेट है। क्या सेट करें? सभी चीजों का सेट जो हर एक सेट से संबंधित है$A_n$ के लिये $n\in\Bbb Z^+$। चलो$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; तब फिर$\bigcap\mathscr{A}$ वास्तव में एक ही बात का मतलब है। $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ बस एक प्रथागत संकेतन है जिसका अर्थ है न तो अधिक और न ही इससे कम $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$, तथा $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$। कोई नहीं है$A_\infty$: द $\infty$ केवल एक संकेत है कि सूचकांक $n$ सभी सकारात्मक पूर्णांक मानों को ग्रहण करना है।

मान लीजिए कि प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $x$ मैं जाने $I_x$ खुला अंतराल हो $(-x,x)$। फिर$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है जो इन खुले अंतरालों में से हर एक से संबंधित है। अगर$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, तब फिर

$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$

मुझे कैसे पता चलेगा? अगर$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, तब फिर $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, इसलिए कम से कम एक सदस्य है $\mathscr{I}$ इसमें सम्‍मिलित नहीं है $y$, और इसलिए परिभाषा के अनुसार $y$ परिवार में सेट के चौराहे पर नहीं है $\mathscr{I}$। दूसरी ओर,$0\in(-x,x)=I_x$ हर एक के लिए $x\in\Bbb R^+$, तोह फिर $0$ है चौराहे में$\bigcap\mathscr{I}$।

न तो मामले में हमने कहीं भी प्रेरण का उपयोग किया है। सेट के मामले में$A_n$ हम प्रेरण का उपयोग करने में सक्षम हो सकते हैं $n$ प्रत्येक सेट को दिखाने के लिए $A_n$ कुछ संपत्ति है $P$, लेकिन हम यह दिखाने के लिए उस इंडक्शन का विस्तार नहीं कर सके $\bigcap\mathscr{A}$ है $P$। हम किसी तरह इस तथ्य का उपयोग करने में सक्षम हो सकते हैं कि प्रत्येक$A_n$ संपत्ति है $P$ उसे दिखाने के लिए $\bigcap\mathscr{A}$ भी है $P$, लेकिन इसके लिए एक अलग तर्क की आवश्यकता होगी; यह इंडक्शन का हिस्सा नहीं होगा। उस मामले में प्रेरण तर्क यह साबित करेगा

$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$

उस परिणाम और अन्य तथ्यों का उपयोग करके, फिर एकल सेट को अलग तर्क दिखाया जाएगा $\bigcap\mathscr{A}$ संपत्ति है $P$। आप इस सेट को कॉल कर सकते हैं$A_\infty$यदि आप ऐसा करना चाहते हैं, लेकिन यह सिर्फ एक लेबल होगा; आप समान रूप से इसे कॉल कर सकते हैं$A$, या $X$, या और भी $A_{-1}$हालाँकि, मैं यह नहीं सोच सकता कि आप उस आखिरी लेबल का उपयोग क्यों करना चाहते हैं।

सेट के मामले में $I_x$ प्रत्येक को दिखाने के लिए प्रेरण का उपयोग करने की कोई संभावना नहीं है $I_x$ कुछ संपत्ति है: इन सेटों को सूचीबद्ध नहीं किया जा सकता है $I_1,I_2,I_3$, और इसी तरह, क्योंकि उनमें से कई बेशुमार हैं। हम अभी भी सेट के बारे में बातें साबित कर सकते हैं$\bigcap\mathscr{I}$, हालाँकि। और हम इसे कोई भी सुविधाजनक लेबल दे सकते हैं।$\bigcap\mathscr{I}$जानकारीपूर्ण है, लेकिन शायद थोड़ा असुविधाजनक है; मैं इसे हैंडियर लेबल देना चुन सकता हूं$I$।

के मामले में $\mathscr{A}$ वहाँ एक प्रथागत संकेतन होता है जो प्रतीक का उपयोग करता है $\infty$, लेकिन यह इस तथ्य का एक परिणाम है कि सेट करता है $A_n$पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित होते हैं। हम उदाहरण के साथ एक ही तरह की चीज कर रहे हैं$\mathscr{I}$, लेकिन उस स्थिति में सीमा का उपयोग करने की कोई संभावना नहीं है $\infty$ चौराहे पर, क्योंकि बेशुमार सेटों को अनुक्रमित करने का कोई तरीका नहीं है $I_x$ पूर्णांकों द्वारा।