दो क्षेत्र के मिश्रित क्षेत्र का अवशेष क्षेत्र
[सवाल]
मुझे पता है $K'\cdot K''$ का एक अज्ञात विस्तार है $K$ लेकिन मुझे पता नहीं क्यों $K'\cdot K''$ एक अवशेष क्षेत्र है $k'$।
क्या यह हमेशा सच है $K_1\cdot K_2$ एक अवशेष क्षेत्र है $k_1 \cdot k_2$? (कहां है$k_1,k_2$ के अवशेष क्षेत्र हैं $K_1, K_2$)
मुझे लगता है कि अगर हम प्रस्ताव को 7.50 साबित करते हैं, तो हम उपयोग कर सकते हैं " $K_1\cdot K_2$ एक अवशेष क्षेत्र है $k_1 \cdot k_2$" इस स्थिति में।
हालाँकि, इस प्रस्ताव को साबित करते हुए हम उस तथ्य का उपयोग नहीं कर सकते हैं।
मैं इसे कैसे साबित कर सकता हूं?
आपके ध्यान देने के लिए धन्यवाद!
संदर्भ (जेएस मिल्ने के बीजगणितीय संख्या सिद्धांत ) और यह पद 1 : अपरिचित एक्सटेंशन के अजीब तर्क एक ही अवशेष वाले क्षेत्र समान हैं।
जवाब
के लिये $K/\Bbb{Q}_p$ एक सीमित विस्तार तब $F/K$ अज्ञात है iff $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ साथ से $p\nmid n$ तथा $q= |O_F/(\pi_F)|$। यह हेंसल लेम्मा का मुख्य अनुप्रयोग है।
कब $E/K,E'/K$ तब रामभक्त होते हैं, ऐसा हमेशा नहीं होता है कि अवशेष क्षेत्र $EE'$ सबसे छोटा क्षेत्र है जिनमें से एक शामिल है $E,E'$, के साथ प्रयास करें $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$।
कब $E'/K$ तब अज्ञात है $EE'=E(\zeta_{q-1})$ अवशेष क्षेत्र है $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$।