द्वारा विभाजन करें $0$ फ़ज़ी सी-मीन्स क्लस्टरिंग में चरम मामला
मेरे पास फ़ज़ी सी-मीन्स (FCM) क्लस्टरिंग एल्गोरिथ्म के लिए विभाजन मैट्रिक्स की गणना करने के बारे में एक प्रश्न है। किसी भी बिंदु के लिए$x_i$ और क्लस्टर सेंट्रोइड $c_j$सदस्यता मूल्य $w_{i,j}$ निम्नलिखित एल्गोरिथ्म द्वारा गणना की जाती है (जहां c क्लस्टर्स की संख्या है, m एक फ़ज़ीनेस हाइपर-पैरामीटर है, और $\Vert \Vert$ यूक्लिडियन दूरी है): $$w_{i,j}=\sum_{k=1}^c \frac{1}{\left(\frac{\Vert x_i-c_j\Vert}{\Vert x_i-c_k\Vert}\right)^{\frac{2}{m-1}}}$$ सैद्धांतिक रूप से (हालांकि बहुत असंभावित प्रयोगात्मक रूप से), किसी भी बिंदु की दूरी हो सकती है $0$ किसी भी केन्द्रक से, जिसके कारण विभाजन होता है $0$।
समाधान मुझे स्पष्ट लगता है: यदि $\Vert x_i-c_k\Vert=0$, फिर इंगित करें $x_i$ सीधे केन्द्रक पर स्थित है $c_k$, इसलिए $w_{i,k}=1$ तथा $w_{i,j}=0$ अन्य सभी जम्मू के लिए, आवश्यकता को संरक्षित करते हुए $\sum_{j=1}^c w_{i,j}=1$, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह एल्गोरिथम के अनुसार ध्वनि है।
अगर बिंदु $x_i$ केन्द्रक पर स्थित है $c_j$, है $w_{i,j}=1$ सच?
(बस कुछ सत्यापन की तलाश में, मुझे जो स्रोत सामग्री दिखाई दे रही थी, उसमें मुझे कुछ भी नहीं मिला ...)
जवाब
यह प्रमेय का एक विशेष मामला है जहां यह माना जाता है कि नहीं $c_k=x_i$।
इस सूत्र में दिखाई देने वाला मूल पेपर निम्न है:
ISODATA प्रक्रिया का एक फ़ज़ी रिलेटिव और कॉम्पैक्ट वेल-सेपरेटेड क्लस्टर
साइबरनेटिक्स एंड सिस्टम्स जे। सी। डन (1973) का पता लगाने में इसका उपयोग
लेख उसे मिल सकता है:
https://www-m9.ma.tum.de/foswiki/pub/WS2010/CombOptSem/FCM.pdf
और प्रमेय प्रमेय 3, (क) पृष्ठ 1 पर केस 1 है।