एक ब्लैक होल के पास अंतरिक्ष की वक्रता
(कठोर सिद्धांतकारों को इस प्रश्न पर मेरे कथन को माफ़ करना होगा, मैं जीआर के लिए नया हूं और मेरे अधिकांश भौतिकी प्रशिक्षण क्वांटम यांत्रिकी में हैं)
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में, हम एक गोलाकार स्थान की बात कर सकते हैं जैसे कि आंतरिक रूप से घुमावदार स्थान पर। एक गोलाकार स्थान में, "समानांतर" लाइनें एक बिंदु पर परिवर्तित होती हैं। मैंने विकिपीडिया पर पढ़ा कि "संतुलन पर एक ब्लैक होल के घटना क्षितिज की रूपरेखा हमेशा गोलाकार होती है।"
क्या यह दावा करना एक सटीक कथन है कि ब्लैक होल के चारों ओर का स्थान गोलाकार है और इसलिए "समानांतर रेखाओं" का अभिसरण घटना क्षितिज के अंदर किसी बिंदु पर मिलता है? यदि यह मामला नहीं है, तो क्या हम हाइपरबोलिक, गोलाकार, या कुछ और के रूप में एक विलक्षणता के आसपास के स्थान को भी वर्गीकृत कर सकते हैं?
लिंक नीचे है:
https://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole#Event_horizon
जवाब
मुझे नहीं लगता कि ब्लैक होल के पास के स्पेसटाइम को "गोलाकार" के रूप में वर्णित करना सही होगा। एक बात के लिए, आप ब्लैक होल के कितने करीब हैं, इसके आधार पर अंतरिक्ष की वक्रता बदल जाती है। एक क्षेत्र के लिए, वक्रता एक स्थिर है और स्थान के साथ भिन्न नहीं होती है। इसके अलावा, आपको 2 से अधिक आयामों के साथ अंतरिक्ष-समय की वक्रता को निर्दिष्ट करने के लिए एक एकल वास्तविक संख्या से अधिक की आवश्यकता है (यह इसलिए है क्योंकि आपके पास एक स्थान हो सकता है जहां एक त्रिभुज के कोण एक दिशा में 180 डिग्री से कम तक जोड़ते हैं , लेकिन एक त्रिकोण के कोण एक अलग दिशा में उन्मुख 180 डिग्री से अधिक को जोड़ते हैं।) इसके अलावा, ब्लैक होल का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र इस तथ्य पर बड़े हिस्से में निर्भर करता है कि स्पेसटाइम घुमावदार है, न कि केवल स्थानिक वक्रता पर।
आप शायद अभी भी वक्रता टेंसर के विभिन्न घटकों के संकेतों के आधार पर स्पेसटाइम की वक्रता को वर्गीकृत कर सकते हैं, लेकिन वर्गीकरण गोलाकार बनाम फ्लैट बनाम हाइपरबोलिक की तुलना में अधिक जटिल होगा।
मैंने विकिपीडिया पर पढ़ा कि "संतुलन पर एक ब्लैक होल के घटना क्षितिज की रूपरेखा हमेशा गोलाकार होती है।"
यह उत्तर स्पष्ट करता है कि उस कथन का क्या अर्थ है। इसका मतलब है कि अगर हम 4d स्पेसटाइम में किसी भी ब्लैक होल से शुरू करते हैं, तो क्षितिज को खुद से 3 डी के रूप में देखें, यह कई गुना टॉपोलॉजी है$S^2\times \mathbb{R}$, कहाँ पे $S^2$ एक दो गोला (एक गेंद की सतह) और है $\mathbb{R}$एक लाइन है। यह टोपोलॉजी के बारे में कथन है, ज्यामिति के बारे में नहीं। विशेष रूप से, कथन कहता है (लगभग) जियोडेसिक्स (या समानांतर रेखा) के बारे में कुछ भी नहीं।
वैसे, बयान 4 डी स्पेसटाइम में ब्लैक होल के लिए विशिष्ट है। 5 डी स्पेसटाइम में, एक ब्लैक होल में गैर-गोलाकार टोपोलॉजी के साथ एक घटना क्षितिज हो सकता है।
उदाहरण
4 डी स्पेसटाइम में श्वार्ज़स्चिल्ड मेट्रिक पर विचार करें। स्पेसलाइक वर्ल्डलाइन्स के लिए लाइन एलिमेंट है$$ ds^2 = -A(r) dt^2 + \frac{dr^2}{A(r)}+r^2d\Omega^2 \tag{1} $$ कहाँ पे $A(r)$क्षितिज पर शून्य पर जाता है। संकेतन$d\Omega^2$ गोलाकार-समन्वित भाग के लिए एक संक्षिप्त नाम है: कारक के बिना $A$, मेल ${dr^2}+r^2d\Omega^2$गोलाकार निर्देशांक में फ्लैट 3 डी यूक्लिडियन स्थान का लाइन तत्व होगा। का कोई निश्चित मान$r$4d स्पेसटाइम के 3 डी सबमेनफोल्ड को परिभाषित करता है। अगर$A(r)\neq 0$इस मैनिफोल्ड पर प्रेरित मीट्रिक है $$ ds^2 = -A(r) dt^2 +r^2d\Omega^2 \tag{2} $$ अब किधर $r$ तथा $A(r)$निरंतर हैं। यह मानक मीट्रिक ऑन है$S^2\times\mathbb{R}$, जहां कारक है $\mathbb{R}$ अतिरिक्त समन्वय के लिए खाते $t$। क्षितिज पर, हमारे पास है$A(r)=0$, और समीकरण (1) का कोई मतलब नहीं है। चिकनी कई गुना अभी भी वहाँ समझ में आता है, लेकिन के घटकों मीट्रिक नहीं है। हम इसे दो तरीकों से संबोधित कर सकते हैं:
लेना $r$मनमाने ढंग से इस मूल्य के करीब होना। यह देखने के लिए पर्याप्त है कि टोपोलॉजी क्या है$A(r)=0$कई गुना होगा। समीकरण (1) कहता है कि द$dt^2$क्षितिज पर गायब हो जाता है, जो इस तथ्य से मेल खाता है कि क्षितिज एक शून्य हाइपर्सफेस है: विस्थापन में$t$-अनुकूलन हल्के होते हैं (शून्य लंबाई होते हैं)।
इससे भी बेहतर, हम एक अलग समन्वय प्रणाली का उपयोग कर सकते हैं ताकि 4d मीट्रिक क्षितिज पर अच्छी तरह से परिभाषित हो। में केर-स्चिल्ड निर्देशांक , स्च्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक रूप है$$ ds^2 = -dt^2+dr^2+r^2d\Omega^2 + V(r)(dt+dr)^2 \tag{3} $$ कहाँ पे $V(r)$ को छोड़कर हर जगह अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है $r=0$। क्षितिज से मेल खाती है$V(r)=1$, जहां $dt^2$शब्द गायब हो जाता है। स्थापना$r$ इस विशेष मूल्य के बराबर प्रेरित मीट्रिक देता है $$ ds^2 = r^2d\Omega^2. \tag{4} $$ यह मानक मीट्रिक ऑन है $S^2$, लेकिन टोपोलॉजी वास्तव में है $S^2\times\mathbb{R}$, जहां $\mathbb{R}$ के लिए कारक खाते $t$-कहना। कोई नहीं है$dt^2$ टर्म इन (4) क्योंकि क्षितिज एक अशक्त हाइपरसुरफेस है: विस्थापन में $t$-गुणवत्ता शून्य लंबाई है। यह वही निष्कर्ष है जो हम पहले तक पहुंचे थे, लेकिन अब हम इसे और अधिक सीधे पहुंच गए हैं क्योंकि मीट्रिक (3) क्षितिज पर अच्छी तरह से परिभाषित है।