एक हर्मिटियन ऑपरेटर का ऑपरेटर मानदंड
मैं सदरी हसनी में उल्लिखित निम्नलिखित परिणाम को साबित करना चाहता हूं: -
पहली असमानता, अर्थात $|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$एक ऑपरेटर के आदर्श की परिभाषा से सीधा है। रिवर्स असमानता के लिए, लेखक ने निम्नलिखित प्रक्रिया का उल्लेख किया।
मैं यह पता नहीं लगा सकता कि उन्होंने उपरोक्त परिणाम का उपयोग करके असमानता कैसे प्राप्त की। इसके अलावा, मुझे लगता है कि परिणाम के लिए$4\langle Hx|y\rangle $ एक होना चाहिए $-i$ की बजाय $i$ समानता में।
जवाब
के लिए दिए गए विकल्पों के साथ $x$ तथा $y$, तुम्हारे पास वह है $\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, इसलिए समानता कम हो जाती है $$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$ इसके अलावा, $\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$। फिर, समांतर चतुर्भुज पहचान का उपयोग करते हुए,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}