एक जटिल वेक्टर अंतरिक्ष पर सभी nondegenerate bilinear सममित रूप isomorphic हैं

Question

एक जटिल वेक्टर अंतरिक्ष पर सभी nondegenerate bilinear सममित रूप isomorphic हैं। क्या इसका मतलब यह है कि एक जटिल वेक्टर अंतरिक्ष पर एक नोंडेगेंरेट बिलिनियर सममित रूप दिया गया है जिसे आप वेक्टर अंतरिक्ष के लिए एक आधार चुन सकते हैं जैसे कि बिलिनियर फॉर्म का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पहचान मैट्रिक्स है? क्या कोई मुझे समझाने में मदद कर सकता है कि ऐसा क्यों है?

मैं सोच रहा हूँ कि प्रविष्टियों के साथ एक मैट्रिक्स $\mathbb{C}$एक विशेषता समीकरण है जो रैखिक कारकों (गुणकों के साथ) में विभाजित होता है और इसलिए विकर्ण हो जाएगा, लेकिन फिर भी इन टुकड़ों को एक साथ नहीं डाल सकता है। अंतर्दृष्टि की सराहना की!

Answer 1

इसका जवाब है हाँ।

सबसे पहले, एक सबूत है कि बिलिनियर रूप isomorphic हैं। ध्यान दें कि यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि यह धारण करता है$\Bbb C^n$।

सबसे पहले, मैं दावा करता हूं कि प्रत्येक उल्टे, जटिल, सममित मैट्रिक्स को फॉर्म में लिखा जा सकता है $A = M^TM$ कुछ जटिल मैट्रिक्स के लिए $M$। यह देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, ताकगी कारक के परिणामस्वरूप ।

अब छोडो $Q$ एक सममित बिलिनियर फॉर्म को निरूपित करें $\Bbb C^n$, और जाने $A$ अपने मैट्रिक्स को इस अर्थ में निरूपित करें कि $Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$। चलो$Q_0$ द्वारा परिभाषित विहित बिलिनियर फॉर्म को निरूपित करें $Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$। हम लिखते हैं$A = M^TM$ कुछ उल्टे जटिल मैट्रिक्स के लिए $M$।

परिभाषित करें $\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$ द्वारा द्वारा $\phi(x) = Mx$। यह सत्यापित करना आसान है$\phi$ बिलिनियर उत्पाद रिक्त स्थान का एक आइसोमोर्फिज्म है, ताकि दो रिक्त स्थान वास्तव में आइसोमॉर्फिक हो।

स्थापित किए गए सभी के साथ: हम देख सकते हैं कि आधार का परिवर्तन $y = Mx$ इस प्रकार कि $Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$।