एक राज्य और उसके मार्जिन के बीच मैक्स-सापेक्ष एन्ट्रापी

Question

पृष्ठभूमि

क्वांटम रिश्तेदार एन्ट्रापी किसी भी क्वांटम राज्यों के लिए परिभाषित किया गया है $\rho, \sigma$ जैसा

$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$

की मनमानी पसंद के लिए $\rho,\sigma$क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी किसी भी अप्रतिदेय मूल्य को ले सकती है। कुछ द्विदलीय स्थिति पर विचार करें$\rho_{AB}$ और इसके हाशिये पर हैं $\rho_A$ तथा $\rho_B$। अगर हम विचार करें$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, हमारे पास आपसी जानकारी है। इसके अलावा, हमारे पास वह है

$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$

सवाल

सापेक्ष एन्ट्रापी का एक-शॉट एनालॉग अधिकतम-सापेक्ष एन्ट्रॉपी है और इसे परिभाषित किया गया है

$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$

कहां है $A\geq B$ इसका उपयोग यह बताने के लिए किया जाता है $A-B$सकारात्मक अर्धविराम है। साधारण रिश्तेदार एन्ट्रापी की तरह, अधिकतम-रिलेटिव एन्ट्रापी भी कोई नॉनगनेटिव वैल्यू ले सकते हैं। अगर अब मैं विचार करता हूं$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, क्या अधिकतम मूल्य पर एक ऊपरी सीमा है जो इसे ले सकती है?

मेरा मानना ​​है कि उत्तर हां के मामले के बाद से है $+\infty$ के समर्थन के कारण खारिज कर दिया गया है $\rho_{AB}$ के समर्थन में निहित है $\rho_A\otimes\rho_B$ लेकिन एक सीमा नहीं मिल पाई है।

Answer 1

$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ एक राज्य जो आपसी सूचना को बांधे रखता है, वह है $$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$ कहां है $N = \min(|A|,|B|)$ तथा $\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$ के लिए आधार हैं $A,B$, क्रमशः। सहज रूप से, यह राज्य रखते हुए हाशिये के प्रवेश को अधिकतम करता है$A$ तथा $B$ पूरी तरह से सहसंबद्ध।

यह राज्य देता है $I_{\max} = \log_2(N)$। मैंने साबित नहीं किया है कि यह एक ऊपरी सीमा है, लेकिन यह एक अच्छी जगह की तरह लगता है।