एक रिंग का प्राइम स्पेक्ट्रम: ज्योमेट्री को स्थानीय रिंगों द्वारा क्यों कैप्चर किया जाता है?
यदि कोई कार्य $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ निरंतर है, $f$सभी गैर-लुप्त बिंदुओं पर स्थानीय रूप से उलटा है। यानी सभी बिंदुओं के लिए$x_0$ ऐसा है कि $f(x_0) \neq 0$, एक खुला पड़ोस मौजूद है $U$ का $x_0$ और एक समारोह $g: U \rightarrow \mathbb R$, ऐसा सभी के लिए $u \in U$, $(f \times g)(u) = f(u) \times g(u) = 1$।
क्या काफिला सच है? क्या एक ऐसा कार्य है जो सभी गैर-लुप्त बिंदुओं पर स्थानीय रूप से उलटा है?
ऐसा नहीं लगता है। फ़ंक्शन पर विचार करें$ f(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 2 & \text{otherwise} \end{cases} $
इसका उलटा कार्य है $ g(x) = \begin{cases} 1 & x \in \mathbb Q \\ 1/2 & \text{otherwise} \end{cases} $
भले ही $f$हर जगह बंद है। तो स्पष्ट रूप से, यह स्थानीय रूप से अक्षम्य परिभाषा हमें निरंतर कार्य देने से बहुत दूर है।
मैं अब एक अंगूठी के स्पेक्ट्रम के बारे में अचूक हूं। यह यह "स्थानीय उलटा" संपत्ति है जो (मुझे लगा) एक अंगूठी के स्पेक्ट्रम पर संरचना की शीफ की परिभाषा को प्रेरित करता है। में$\operatorname{Spec}(A)$एक बिंदु के आसपास कार्यों का वलय (प्रधान) $\mathfrak p$ है $A_\mathfrak p$। तो सभी कार्य (रिंग तत्व) जो शून्य नहीं हैं$\mathfrak p$ स्थानीयकरण के माध्यम से उलटा बनने के लिए मजबूर किया जाएगा।
लेकिन यह परिभाषा वास्तव में हम क्या चाहते हैं पर कब्जा करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं लगती है - यह बहुत सारे कार्य के छल्ले की अनुमति देता है, जिससे हम मूल स्थान की संरचना को पुनर्प्राप्त नहीं कर सकते हैं। मुझे पता है कि जो मूल स्थान को ठीक करता है, उसे दिए गए कार्यों की अंगूठी को उरहेसन के लेम्मा को लागू करने के लिए निरंतर कार्यों की आवश्यकता होती है [यह अतिया मैकडोनाल्ड, अध्याय 1, व्यायाम 26 में पाया जा सकता है)
मैं क्या खो रहा हूँ?
जवाब
यह एक तथ्य है कि (वास्तविक या जटिल मूल्यवान) निरंतर, या लगातार अलग-अलग, या चिकनी, या विश्लेषणात्मक, आदि फ़ंक्शन जो कहीं गायब हो जाते हैं, एक ही श्रेणी में एक गुणक व्युत्क्रम होता है। इसके अलावा, निरंतरता से, एक फ़ंक्शन केवल एक बंद सेट पर गायब हो सकता है। इसलिए टोपोलॉजिकल स्पेस पर ऐसे फंक्शंस के शेफ के पास यह संपत्ति होती है कि इसके डंठल स्थानीय रिंग होते हैं। शास्त्रीय तरीके से परिभाषित इंद्रधनुषी बीजीय किस्मों के लिए हमारे पास तर्कसंगत कार्य हैं, नियमित कार्यों के शीफ में समान संपत्ति है। ज़रूरी नहीं कि इरेज़ुएबल बीजगणितीय किस्मों के लिए हम वास्तव में तर्कसंगत कार्यों के बारे में बात नहीं कर सकते हैं, लेकिन इरेड्यूसिबल एफाइन बीजीय किस्मों पर नियमित कार्यों के शीफ के एक करीबी विश्लेषण से पता चलता है कि पहली जगह में तर्कसंगत कार्यों से गुजरना आवश्यक नहीं है, और यह है कि कैसे हम एक सामान्य आफ़ान योजना के संरचना शीफ की परिभाषा में आते हैं। तथ्य यह है कि डंठल स्थानीय छल्ले हैं, कुछ अर्थों में, आकस्मिक।
चलो $k$ एक बीजीय रूप से बंद क्षेत्र और जाने दो $X$ का सबसेट हो $k^n$। इस जवाब, एक के प्रयोजनों के लिए नियमित रूप से समारोह पर$X$ एक समारोह है $f : X \to k$ जिसके लिए बहुपद मौजूद हैं $p$ तथा $q$ ऊपर $k$ ऐसा है कि $q (x) \ne 0$ सबके लिए $x \in X$ तथा $f (x) = p (x) / q (x)$ सबके लिए $x \in X$। चलो$\mathscr{O} (X)$ पर नियमित कार्यों का सेट हो $X$। फिर:
अगर $X$ का एक अप्रासंगिक बंद उपसमूह है $k^n$, तो असाइनमेंट $U \mapsto \mathscr{O} (U)$, कहां है $U$ के खुले उपसमुच्चय पर बदलता रहता है $X$, एक सबहाइफ़ को परिभाषित करता है $\mathscr{O}_X$ का शीश $k$पर किए गए कार्य $X$।
यहाँ वास्तव में जाँच करने का दावा किया गया है, अर्थात् कार्यों की नियमितता एक स्थानीय संपत्ति है, लेकिन मैं आपको यह बताता हूँ। उपरोक्त परिभाषा आवश्यक है$X$ में एम्बेडेड होना $k^n$, लेकिन यह वास्तव में अनावश्यक है। पहले तो:
अगर $X$ का एक बंद उपसमूह है $k^n$ तथा $f : X \to k$ एक नियमित कार्य है, फिर एक बहुपद है $p$ ऊपर $k$ ऐसा है कि $f (x) = p (x)$ सबके लिए $x \in X$।
आम तौर पर:
चलो $X$ के एक बंद उपसमुच्चय हो $k^n$, चलो $q$ बहुपद हो $k$, और जाने $U = \{ x \in X : q (x) \ne 0 \}$। अगर$f : U \to k$ एक नियमित कार्य है, फिर एक सकारात्मक पूर्णांक मौजूद है $m$ और एक बहुपद $p$ ऊपर $k$ ऐसा है कि $f (x) = p (x) / q (x)^m$ सबके लिए $x \in X$।
इसके अलावा, अगर $U$ में घना है $X$, फिर अद्वितीय समरूपता $k [x_1, \ldots, x_n, u] \to \mathscr{O} (U)$ भेजना $x_1, \ldots, x_n$ संबंधित समन्वय कार्यों के लिए $U \to k$ तथा $u$ पर नियमित कार्य करने के लिए $U$ द्वारा परिभाषित $1 / q$ कर्नेल है $(I (X) + (q u - 1))$, कहां है $I (X)$ पर गायब होने वाले बहुपद का आदर्श है $X$।
वास्तव में, जब से $f : U \to k$ एक नियमित कार्य है, बहुपद मौजूद हैं $p_1$ तथा $q_1$ ऐसा है कि $q_1 (x) \ne 0$ सबके लिए $x \in U$ तथा $f (x) = p_1 (x) / q_1 (x)$ सबके लिए $x \in U$। Nullstellensatz द्वारा,$\sqrt{I (X) + (q_1)} \supseteq \sqrt{I (X) + (q)}$; विशेष रूप से, एक सकारात्मक पूर्णांक मौजूद है$m$ तथा $r \in k [x_1, \ldots, x_n]$ तथा $s \in I (X)$ ऐसा है कि $q_1 r + s = q^m$। इसलिये,$$\frac{p_1 (x)}{q_1 (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q_1 (x) r (x)} = \frac{p_1 (x) r (x)}{q (x)^m}$$ सबके लिए $x \in U$, तो हम ले सकते हैं $p = p_1 r$।
के एक सामान्य तत्व को देखते हुए $k [x_1, \ldots, x_n, u]$, कहते हैं $p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m$, कहां है $p_0, \ldots, p_m$ में बहुपद हैं $x_1, \ldots, x_n$ ऊपर $k$, अपने पास $$p_0 (x) + \frac{p_1 (x)}{q (x)} + \cdots + \frac{p_m (x)}{q (x)^m} = 0$$ सबके लिए $x \in U$ अगर और केवल अगर $$p_0 (x) q (x)^m + p_1 (x) q (x)^{m - 1} + \cdots + p_m (x) = 0$$ सबके लिए $x \in U$। जबसे$U$ में घना है $X$दूसरा समीकरण वास्तव में सभी के लिए है $x \in X$, तोह फिर $$p_0 q^m + p_1 q^{m - 1} + \cdots + p_m \in I (X)$$ और इसलिए, $$p_0 + p_1 u + \cdots + p_m u^m \in I (X) + (q u - 1)$$आवश्यकता अनुसार। ■
इस सब का उत्थान यह है कि, यदि $X$ का एक अप्रासंगिक बंद उपसमूह है $k^n$, फिर शीफा $\mathscr{O}_X$ अंगूठी से पुनर्निर्माण किया जा सकता है $\mathscr{O} (X)$ के अधिकतम आदर्शों के बीच एक साथ आपत्ति के साथ $\mathscr{O} (X)$ और के अंक $X$: ऊपर दिखाया गया है कि, एक प्रमुख खुले उपसमुच्चय के लिए $U \subseteq X$, अर्थात $U = \{ x \in X : f (x) \ne 0 \}$ कुछ के लिए $f \in \mathscr{O} (X)$, अंगूठी $\mathscr{O} (U)$ का स्थानीयकरण है $\mathscr{O} (X)$ गुणक सेट के संबंध में $\{ 1, f, f^2, \ldots \}$। यह जांचना आसान है कि प्रतिबंध के नक्शे स्पष्ट हैं। के बाद से प्रिंसिपल खुला उपसमुच्चय$X$ की टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाएँ $X$, यह शीफ निर्धारित करता है $\mathscr{O}_X$। मोडुलो नॉन-मैक्सिमल प्राइम आइडियल का परिचय, यह ठीक उसी तरह है जैसे कोई सामान्य एफिन स्कीम के लिए स्ट्रक्चर शीफ का निर्माण करता है।