एक समान [ए, बी] घनत्व और एक सामान्य (0, डी ^ 2) घनत्व के दृढ़ संकल्प के लिए अभिव्यक्ति क्या है?

Question

मान लो मेरे पास है $X\sim Uniform[a,b]$ तथा $Y\sim normal(0,d^2)$, के घनत्व के लिए अभिव्यक्ति क्या है $Z=X+Y$?

चलो $F_{Z}(z)$ का cdf हो $Z$ पर मूल्यांकन किया $z$, और जाने $\Phi(\cdot)$ तथा $\phi$क्रमशः मानक सामान्य cdf और pdf बनें। मुझे मिला

$F_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\Phi(\frac{z-x}{d})dx$,

करने के लिए अंतर अलग $z$ दोनों तरफ देता है

$f_{Z}(z)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}\phi(\frac{z-x}{d})\frac{1}{d}dx=\frac{1}{b-a}(\Phi(\frac{z-a}{d})-\Phi(\frac{z-b}{d}))$ ।

क्या यह सही लगता है? धन्यवाद!

Answer 1

टिप्पणी:

एक वास्तविकता की जाँच के रूप में यहाँ के दृढ़ संकल्प के लिए एक अनुकरण है $U \sim \mathsf{Unif}(a=2, b=7)$ तथा $Z \sim \mathsf{Norm}(\mu = 0, \sigma = 3).$

इस प्रकार $E(U+Z) = 4.5 + 0 = 4.5$ तथा $V(U+Z) = 25/12 +9 = 4.0833.$

set.seed(2020)
a = 2;  b = 7;  sg = 3
u = runif(10^6, a, b)
z = rnorm(10^6, 0, sg)
x = u + z
mean(x); mean(u);  mean(z);  mean(u) + mean(z)
[1] 4.497167        # aprx E(X) = 4.5
[1] 4.500343        # aprx E(U) = 4.5
[1] -0.003175144    # aprx E(Z) = 0
[1] 4.497167
var(x); var(u); 25/12; var(z); var(u) + var(u)
[1] 11.08561        # aprx Var(X)
[1] 2.081356        # aprx Var(U) = 25/12
[1] 2.083333        # 25/12
[1] 9.011073
[1] 4.162712

hist(x, prob=T, br=50, col="skyblue2", 
 main="Simulated Density of X")
curve(1/(b-a)*( pnorm((x-a)/sg) - pnorm((x-b)/sg) ),
  add=T, col="red", lwd=2)

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