जिसके तहत अड़चनें हैं $\rho(x, y) = |x - y|^d$ त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है

Question

क्या यह पूरी तरह से बीजगणितीय साधनों के द्वारा सिद्ध करना संभव है (बिना प्रतिसाद का सहारा लिए) $\rho(x, y) = |x - y|^d$ त्रिकोण असमानता को संतुष्ट नहीं करता है $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ के लिये $d = 2$? और किस बाधा के तहत$x, y, z$क्या यह असमानता को संतुष्ट करता है? मैं क्यों देखने की कोशिश कर रहा हूं$\rho$ पर एक वैध मीट्रिक नहीं हो सकता $\mathbb R$।

बोनस प्रश्न: अन्य मूल्यों के लिए $d \in \mathbb R$ कर देता है $\rho$ त्रिकोण असमानता को संतुष्ट नहीं करते।

Answer 1

असमानता के बराबर है $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ के लिये $a, b \geq 0$। लाना$a=b=1$ हम देखते है कि $2^{d} \leq 2$। इसलिये$d \leq 1$एक आवश्यक शर्त है। किसी के लिए$d \in (0,1]$असमानता वैध है। इस बात को मानकर साबित किया जा सकता है$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ के घटते कार्य है $a$ और कब गायब हो जाता है $a=0$।

कब $d<0$, $|x-y|^{d}$ भी परिभाषित नहीं किया गया है $x=y$ तो यह एक मीट्रिक उपज नहीं है। $d=0$ तुम्हारे पास बचा है।