का एकीकरण $e^{-\langle Ax , x \rangle}$ ऊपर $\mathbb{R}^n$ [डुप्लीकेट]

Dec 15 2020

मुसीबत :

अगर $A_{n \times n}$ एक सममित, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है, यह दिखाएं: $$\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax , x \rangle}~ dx = \sqrt{\dfrac{\pi^n}{\det(A)}}$$ कहां है $\langle a , b\rangle$ के आंतरिक उत्पाद को दर्शाता है $a$ तथा $b$


दृष्टिकोण:

मैं फ़ंक्शन का उपयोग करके परिवर्तनशील फॉर्मूला के उपयोग से समस्या का सामना कर रहा था $\varphi(x) = A^{-1}x$। जबसे$A$पीडी है, मैं दिखा सकता हूं कि यह उलटा है। लेकिन मैं आगे नहीं बढ़ सकता।

मुझे यहां एक समान दिखने वाली समस्या मिली , लेकिन मैं कुछ भी नहीं समझ सका।

जवाब

3 JackD'Aurizio Dec 15 2020 at 20:47

चलो $v_1,\ldots,v_n$ द्वारा प्रेरित आंतरिक उत्पाद के लिए एक असाधारण आधार हो $A$, इसी eigenvalues ​​के साथ $\lambda_1,\ldots,\lambda_n>0$। हमारे पास है$\det(A)=\prod_{j=1}^{n}\lambda_j$ और एक आइसोमेट्री द्वारा $$ \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-x^t A x)\,dx = \int_{\mathbb{R}^n}\exp(-\lambda_1 x_1^2-\ldots-\lambda_n x_n^2)\,dx\stackrel{\text{Fubini}}{=}\prod_{j=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\lambda_j}}\int_{\mathbb{R}}e^{-z^2}\,dz. $$

3 Meowdog Dec 15 2020 at 20:51

जबसे $A$ सममित है, कुछ ऑर्थोगोनल मौजूद है $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ (अर्थात $S^{-1} = S^\top$) ऐसा है कि $A = S^{-1}DS$ कहां है $D := \mathrm{diag}(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है जिसमें सभी eigenvalues ​​होते हैं $A$। ध्यान दें कि वे की धारणा के कारण सकारात्मक हैं$A$सकारात्मक निश्चित होना। तो, के कारण$S^{-1} = S^\top$: $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax, x\rangle} ~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Sx, DSx \rangle}~\mathrm{d}x $$ अब एक ऑपरेटर का परिचय दें $\Phi: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$, $\Phi(x):= Sx$$\Phi$ की वजह से विशेषण है $S$उलटा होना। एक और आसानी से मिल जाता है$D\Phi(x) = S^{-1}$ सबके लिए $x \in \mathbb{R}^n$। हम यह भी जानते हैं$\lvert \det(S^{-1}) \rvert = 1$ इसलिये $S$ऑर्थोगोनल है। तो परिवर्तन सूत्र पैदावार:$$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Sx, DSx \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{- \langle S \Phi(x), DS \Phi(x) \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle x, Dx \rangle}~\mathrm{d}x = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{j = 1}^n \lambda_jx_j^2}~\mathrm{d}x $$ उसका उपयोग करें $e^{x+y} = e^x e^y$ सबके लिए $x, y \in \mathbb{R}$ और फ़ुबिनी को समाप्त करने के लिए: $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\sum_{j = 1}^n \lambda_jx_j^2}~\mathrm{d}x = \prod_{j = 1}^n \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda_j x_j^2}~\mathrm{d}x_j $$ अब विचार करें $$ I_j := \int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda_j x_j^2}~\mathrm{d}x_j. $$ एक प्रतिस्थापन का परिचय दें $y := \sqrt{\lambda_j}x_j$। फिर:$$ I_j = \frac{1}{\sqrt{\lambda_j}} \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}~\mathrm{d}y = \sqrt{\frac{\pi}{\lambda_j}} $$ सब कुछ एक साथ रखना: $$ \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\langle Ax, x\rangle} = \prod_{j = 1}^n I_j = \frac{\sqrt{\pi}^n}{\sqrt{\prod_{j = 1}^n \lambda_j}} = \frac{\sqrt{\pi}^n}{\sqrt{\det(A)}} = \sqrt{\frac{\pi^n}{\det (A)}} $$ अंतिम चरण में हमने इस्तेमाल किया कि आइजेनवेल्यूज का उत्पाद निर्धारक है।