कब है शंकु $C(X)$ एक स्थान पर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट?
इस मंच इस सवाल के विशेष मामलों से निपटने के लिए कुछ सवाल उदाहरण के लिए, कर रहे हैं इस के लिए$X = \mathbb Z$और इसके लिए$X = \mathbb R$। मेरा सवाल यह है कि
किस पर आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं $X$ जो शंकु की स्थानीय कॉम्पैक्टनेस को आश्वस्त करता है $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?
उत्तर स्थानीय कॉम्पैक्टनेस की सटीक परिभाषा पर निर्भर हो सकता है। यहाँ दो प्रकार हैं:
$X$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है यदि प्रत्येक $x \in X$ एक सघन समीपता है।
$X$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है यदि प्रत्येक $x \in X$ कॉम्पैक्ट सेट्स का एक निबोरहुड आधार है।
स्पष्ट रूप से 2. 1 से अधिक मजबूत है। यदि "कॉम्पैक्ट" को "हॉसडॉर्फ" शामिल करने के लिए माना जाता है, तो 1. और 2. समान हैं। हॉसडॉर्फ के लिए भी यही सच है$X$ "कॉम्पैक्ट" की व्याख्या से स्वतंत्र।
पाठक को अपनी पसंदीदा व्याख्या का उपयोग करने के लिए प्रोत्साहित किया जाता है।
एक स्पष्ट पर्याप्त स्थिति यह है:
अगर $X$ कॉम्पैक्ट है, तो $C(X)$ कॉम्पैक्ट है और इस प्रकार 1. के अर्थ में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है $X$ कॉम्पैक्ट होसडॉर्फ है, तब $C(X)$ कॉम्पैक्ट होसडॉर्फ है और इस तरह 2 के अर्थ में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है।
इसी प्रकार एक स्पष्ट आवश्यक शर्त यह है:
अगर $C(X)$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, तो $X$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है।
असल में, $X$ आधार के लिए होमियोमॉर्फिक है $X \times \{0\}$ का $C(X)$ जो अंदर बंद है $C(X)$, इस प्रकार स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट।
अगर $X$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, तो स्पष्ट रूप से खुले उप-स्थान $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, जहां $*$ की नोक है $C(X)$, में अंक के सामान्य तुल्यता वर्ग $X \times \{1\}$।
यह मुझे लगता है कि एक गैर-कॉम्पैक्ट $X$स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट शंकु नहीं हो सकता है। कारण यह है कि अगर$C(X)$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है, तो $*$एक कॉम्पैक्ट निबोरहुड होना चाहिए। मैं एक आंशिक परिणाम साबित कर सकता हूं (मेरे अपने प्रश्न का उत्तर देखें)। लेकिन मुझे दिलचस्पी है कि क्या कोई सामान्य प्रमेय है।
जवाब
यहाँ आंशिक उत्तर है।
चलो $X$एक सामान्य (हॉसडॉर्फ सहित) समान रूप से पैरासेम्पैक्ट स्थान हो। फिर निम्नलिखित हैं:
$X$ कॉम्पैक्ट है।
$C(X)$ कॉम्पैक्ट है।
$C(X)$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है।
यह सभी पैरासेम्पैक्ट हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान पर लागू होता है $X$विशेष रूप से सभी मेट्रिज़ेबल के लिए $X$।
1. और 2. की समानता स्पष्ट है, और 2. का तात्पर्य है 3. यह दिखाना है कि 3. का तात्पर्य है। 1. हमारी रणनीति एम्बेड करना है $X$ टिप के एक कॉम्पैक्ट निबोरहुड के बंद उपसमूह के रूप में $*$ का $C(X)$। यह बेस को शिफ्ट करने से होगा$X \times \{0\}$ का $C(X)$ की ओर $*$।
चलो $U$ का एक खुला निगहबान होना $*$ में है $C(X)$ कॉम्पैक्ट बंद होने के साथ $K \subset C(X)$। अगर$p : X \times I \to C(X)$ भागफल मानचित्र को दर्शाता है, फिर $V = p^{-1}(U)$ का एक खुला समीपता है $X \times \{1\}$ में है $X \times I$। प्रत्येक के लिए$x \in X$ चलो $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$। स्पष्ट रूप से$0 \le f(x) < 1$ इसलिये $V$यह खुला है। इसके अलावा$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$। कार्यक्रम$f$ ऊपरी अर्धविराम है: आज्ञा देना $f(x) < r$। उठाओ$t$ ऐसा है कि $f(x) < t < r$। फिर$\{x \} \times [t,1] \subset V$ और इस तरह वहाँ एक खुला नेगबोरहुड मौजूद है $W_x$ का $x$ में है $X$ ऐसा है कि $W_x \times [t,1] \subset V$। फिर$f(y) \le t < r$ के लिये $y \in W_x$। जबसे$f(x) < 1$ सबके लिए $x$ और लगातार कार्य करते हैं $1$ कम अर्धवृत्त है, एक प्रमेय जो डॉकर द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था (देखें "परमानंद रूप से रिक्त स्थान पर।" कनाडाई जर्नल ऑफ मैथेमेटिक्स 3 (1951): 219-224 / प्रमेय 4) और केटोव द्वारा (टोपोलॉजिकल में वास्तविक मूल्यवान कार्यों पर देखें)। रिक्त स्थान $h : X \to \mathbb R$ ऐसे $f(x) < h(x) < 1$ सबके लिए $x$। परिभाषित करें$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$। यह एक एम्बेडिंग है: वास्तव में, प्रतिबंध$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ एक एम्बेडिंग है और $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$, एक एम्बेडिंग है। इसके अलावा,$H(X)$ में बंद है $C(X)$ तथा $\bar h(X) \subset V$, इस प्रकार $H(X) \subset U \subset K$। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं$H(X)$कॉम्पैक्ट है। इसलिए$X$ कॉम्पैक्ट है।
अपडेट करें:
उपरोक्त प्रमेय में कहा गया है कि एक सामान्य (हॉसडॉर्फ सहित) काफी हद तक पैरासेम्पैक्ट स्थान है $X$ जो कॉम्पैक्ट नहीं है, उसमें स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट शंकु नहीं हो सकता है।
के विशेष मामले में ए$\sigma$-कंपैक्ट स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ $X$ हम एक वैकल्पिक प्रमाण दे सकते हैं जो ऊपरी और निचले अर्धविराम कार्यों के लिए उपरोक्त "सैंडविच प्रमेय" का उपयोग नहीं करता है।
तो चलो $C(X)$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रहें, $U$ का एक खुला निगहबान होना $*$ में है $C(X)$ कॉम्पैक्ट बंद होने के साथ $K \subset C(X)$ तथा $V = p^{-1}(U)$ जो कि एक खुला संयोग है $X \times \{1\}$ में है $X \times I$।
हमारे पास है $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ कॉम्पैक्ट के साथ $K_n \subset X$ ऐसा है कि $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$। वहाँ खुला है$W_n \subset X$ तथा $t_n \in (0,1)$ ऐसा है कि $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$। Wlog हम मान सकते हैं कि अनुक्रम$(t_n)$गैर घट रहा है। ध्यान दें कि$s_n = (1+t_n)/2$ में समाहित है $(t_n,1)$। चलो$B_n = \operatorname{bd} K_n$ जो कॉम्पैक्ट है (लेकिन संभवतः खाली है; उस मामले में; $K_n$clopen है)। सेट करता है$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ कॉम्पैक्ट होते हैं और इसमें डिसऑइंट सेट होता है $B_n$ तथा $B_{n-1}$ (औपचारिक रूप से हम सेट करते हैं $K_0 = \emptyset$) है। हम लगातार निर्माण करते हैं$f_n : C_n \to I$ निम्नानुसार है: के लिए $n=1$ चलो $f_1(x) = s_2$। दिया हुआ$f_1,\ldots, f_n$ ऐसा है कि $f_i(x) = s_i$ के लिये $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ के लिये $x \in B_i$ तथा $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ सबके लिए $x \in C_i$ हम खोजने के लिए Urysohn प्रमेय का उपयोग करते हैं $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ ऐसा है कि $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ के लिये $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ के लिये $x \in B_{n+1}$ तथा $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ सबके लिए $x \in C_{n+1}$। इन सभी का संग्रह$f_n$, $n \in \mathbb N$, एक सतत करने के लिए चिपकाया जा सकता है $f : X \to I$ उस संपत्ति का होना $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$। वास्तव में, के लिए$x \in C_n$ अपने पास $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ और इस तरह $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$। निर्माण द्वारा$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ का एक बंद उपसमूह है $C(X)$ जो होमोमोर्फिक है $X$ और, एक बंद सबसेट होने के नाते $K$, कॉम्पैक्ट।