कम से कम एक अच्छी तरह से परिभाषित चक्रीय उपसमूह $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$, प्राइम के लिए $p$।

Aug 17 2020

फॉर्म के पूर्णांक पर विचार करें

$\quad pq + 1, \text{where 0 } \lt q \le p $

अवशेष वर्गों का संगत सेट $\{[pq + 1]\}$ आदेश का एक चक्रीय समूह बनाएं $p$ जनरेटर के साथ $[p + 1]$।

उदाहरण: यदि $p = 11$ फिर $12$ आदेश के एक चक्रीय उपसमूह उत्पन्न करता है $11$ में $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$:

$\; {[12]}^1 \equiv \;\;\, 12 \pmod {121}$
$\; {[12]}^2 \equiv \;\;\, 23 \pmod {121}$
$\; {[12]}^3 \equiv \;\;\, 34 \pmod {121}$
$\; {[12]}^4 \equiv \;\;\, 45 \pmod {121}$
$\; {[12]}^5 \equiv \;\;\, 56 \pmod {121}$
$\; {[12]}^6 \equiv \;\;\, 67 \pmod {121}$
$\; {[12]}^7 \equiv \;\;\, 78 \pmod {121}$
$\; {[12]}^8 \equiv \;\;\,89 \pmod {121}$
$\; {[12]}^9 \equiv\; 100 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{10} \equiv 111 \pmod {121}$
$\; {[12]}^{11} \equiv\;\;\;\, 1 \pmod {121}$

मेरे पास यूक्लिडियन डिवीजन (प्रतिनिधित्व) सिद्धांत का उपयोग करके उपरोक्त का एक प्रत्यक्ष प्रमाण है, लेकिन अन्य प्रमाण (या लिंक / संदर्भ) देखने में रुचि होगी। इसके अलावा, विकिपीडिया लिंक

$\quad$ पूर्णांक modulo का गुणक समूह $n$

राज्यों

... हालांकि प्राइम के लिए भी $n$ जनरेटर खोजने का कोई सामान्य सूत्र ज्ञात नहीं है।

इसलिए मुझे इस क्षेत्र में किसी भी आंशिक प्रगति में दिलचस्पी है, जिसमें तत्वों के क्रम का निर्धारण किया गया है ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$।

जवाब

CopyPasteIt Aug 23 2020 at 12:18

यहां हम बड़े चक्रीय समूह का 'पैटर्न निर्माण' करते हैं $K_{2p}$ द्वारा उत्पन्न $[p-1]$ में $(\mathbb{Z}/{p^2}\mathbb{Z})^\times$ के लिये $p \ge 5$।

समूह $K_{2p}$ है $2p$ तत्वों।

सेट $k = p-1$, एक पूर्णांक।

प्रारंभ करके संख्याओं की सूची निर्धारित करें $p-1$ और द्वारा वेतन वृद्धि $2p$ नीचे रहते हुए $p^2 - 1$,

$\quad G_1: p-1, p-1+2p, p-1+4p, \dots, p-1+(k-1)p$

अब जोड़ें $p$ दूसरी सूची बनाने के लिए प्रत्येक संख्या के लिए,

$\quad G_2: 2p-1, 2p-1+2p, 2p-1+4p, \dots, 2p-1+kp$

$\text{[.]}_{\, p^2}$ में संख्याओं के सेट के अवशेष $G_1 \cup G_2$ वास्तव में हैं $k$ के लिए जनरेटर $K_{2p}$ आदेश देना $2p$।

जारी रखते हुए, हम शुरू करके संख्याओं की एक और सूची परिभाषित करेंगे $p+1$ और द्वारा वेतन वृद्धि $2p$
(समकक्ष, जोड़ें $2$ में हर संख्या के लिए $G_1 \cup G_2$),

$\quad H_1: p+1, p+1+2p, p+1+4p, \dots, p+1+(k-1)p$

अब जोड़ें $p$ दूसरी सूची बनाने के लिए प्रत्येक संख्या के लिए,

$\quad H_2: 2p+1, 2p+1+2p, 2p+1+4p, \dots, 2p+1+(k-1)p$

$\text{[.]}_{\, p^2}$ में संख्याओं के सेट के अवशेष $H_1 \cup H_2$ वास्तव में हैं $k$ तत्वों में $K_{2p}$ आदेश देना $p$।

जबसे $2p - 2k = 2$ ऐसे दो तत्व हैं जिनका हिसाब होना बाकी है $K_{2p}$। लेकिन वे दो तत्व हैं$\{[1],[p^2-1]\}$ संतोषजनक $x^2 = 1$।

उदाहरण: के लिए $p = 11$ उचित उपसमूह निर्दिष्ट करें $K_{22}$ का $(\mathbb{Z}/{121}\mathbb{Z})^\times$।