के लिए सभी 3 नंबर समाधान खोजें $x[(x-2)^2+1]=6$

Aug 18 2020

के लिए सभी 3 नंबर समाधान खोजें $x[(x-2)^2+1]=6$

मैंने पूर्णांक समाधान खोजने के लिए परीक्षण और त्रुटि विधि का उपयोग किया $x$, और पाया कि 1 संभव समाधान है $x=3$। हालांकि, 2 अन्य गैर-पूर्णांक समाधान हैं और मुझे नहीं पता कि उन्हें कैसे खोजना है।

मैं किसी भी मदद की सराहना करता हूं, धन्यवाद।

जवाब

2 SiongThyeGoh Aug 18 2020 at 16:30

$$x(x^2-4x+5)=6$$

$$x^3-4x^2+5x-6=0$$

$$(x-3)(x^2-x+2)=0$$

आपको सिर्फ विवेकशील का सत्यापन करना है $x^2-x+2$ नकारात्मक है और यह निष्कर्ष निकालता है कि कोई अन्य वास्तविक जड़ नहीं है।

यदि आप अन्य जड़ों को खोजने के लिए इच्छुक हैं, तो आप शेष जड़ों को खोजने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करना पसंद कर सकते हैं।

YvesDaoust Aug 18 2020 at 16:51

शिक्षित परीक्षण और त्रुटि से:

यदि आप मानते हैं कि व्यायाम का एक आसान समाधान है, तो पूर्णांक की संभावना है। $6$ कारक के रूप में $2\cdot3$ और दूसरा कारक एक पूर्ण वर्ग प्लस एक है, यह नियम बाहर है $3$। फिर$x=3$ एक बिंगो है!

अब अज्ञात के साथ स्थानांतरण $x:=z+3$, हमने प्राप्त किया

$$z^3+5z^2+8z=0$$ या $$z\left(\left(z+\frac52\right)^2+\frac74\right)=0,$$ जिसका संकल्प आसान है।

Bernard Aug 18 2020 at 16:52

पूर्णांक समाधान की तलाश, समीकरण $x[(x-2)^2+1]=6$ के बराबर है $$\begin{cases}x=2,\\(x-2)^2+1=3, \end{cases}\qquad\text{or}\qquad\begin{cases}x=3,\\(x-2)^2+1=2. \end{cases}$$ पहली प्रणाली में दूसरा समीकरण इसका तात्पर्य है $(x-2)^2\equiv -1\mod 3$। दुर्भाग्य से, एकमात्र वर्ग मो।$3$ कर रहे हैं $0$ तथा $1$, इसलिए इस पहली प्रणाली का कोई हल नहीं है।

दूसरी प्रणाली में दूसरे समीकरण का मतलब है $(x-2)^2=1$, अर्थात $x-2=\pm 1\iff x=3\;\text{ or }\;x=1 $। केवल$x=3$ पहले समीकरण के साथ संगत है।

इसलिए एक पूर्णांक समाधान है। अन्य समाधानों के लिए, हम क्यूबिक समीकरण प्राप्त करने के लिए lhs का विस्तार कर सकते हैं, जिसके द्वारा विभाज्य है$x-3$: $$x^3-4x^2+5x-6=0\iff (x-3)(x^2-x+2)=0$$

द्विघात समीकरण $x^2-x+2=0$ जटिल संयुग्म जड़ें हैं: $$x=\frac{1\pm i\sqrt 7}2.$$