कॉम्पैक्ट लाइ समूहों का बेहतर वर्गीकरण
यह सवाल कॉम्पैक्ट लाइ समूहों के (आवश्यक रूप से जुड़े नहीं) के वर्गीकरण का अनुवर्ती है । उस प्रश्न के उत्तर में, @Liceice ने साबित किया कि कोई भी कॉम्पैक्ट, जरूरी नहीं कि लिट समूह से जुड़ा हो$G$ रूप लेता है $$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$ कहां है $G_0$ का पहचान घटक है $G$, $R$ एक परिमित समूह है, और $P$ एक परिमित, आम उपसमूह है $G_0$ तथा $R$ वह केंद्रीय है $G_0$ (लेकिन भीतर केंद्रीय होने की जरूरत नहीं है $R$) का है।
बहरहाल, अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए कई संभावनाएं हैं। सूची को संकीर्ण करने के लिए, उन तत्वों को अलग करना सुविधाजनक होगा$R$ उस गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिम्स द्वारा कार्य करते हैं $G_0$ और बाकी को संशोधित करें ताकि वे कम्यूट करें $G_0$।
अद्यतन: मेरी मूल परिकल्पना (नीचे) झूठी है। एक कमजोर, संभवतः सही संस्करण है:
परिकल्पना: $R$ तथा $P$ ऊपर चुना जा सकता है जैसे कि हर तत्व $R$ या तो (1) एक गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा कार्य करता है $G_0$ या (2) तुच्छ कार्य करता है $G_0$।
अद्यतन 2: @Liceice ने क्लासिफाइड लाई समूहों के वर्गीकरण (जरूरी नहीं कि जुड़े) के अद्यतन उत्तर में यह साबित कर दिया । प्रमाण का एक संक्षिप्त विवरण नीचे मेरे उत्तर में दिया गया है।
तुलना करके, यह गलत है:
परिकल्पना: कोई भी कॉम्पैक्ट झूठ समूह $G$ के रूप में लिखा जा सकता है $$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$ कहां है $H, R, P$ परिमित समूह और गैर-तुच्छ तत्व हैं $R$ गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिम्स द्वारा कार्य करते हैं $G_0$।
प्रतिपक्ष: विचार करें $G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$, जहां जनरेटर $r$ का $\mathbb{Z}_4$ `` चार्ज संयुग्मन '' बाहरी आटोऑर्फ़िज़्म द्वारा कार्य करता है $r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$ पर $U(1)$। किसी भी परिमित विस्तार में$G'$ इस समूह के, तत्वों $\pi_0(G)$ चार्ज संयुग्मन से वह कार्य कभी भी पहचान में नहीं आएगा $G'$, तोह फिर $G'$ कभी आवश्यक नहीं लेता है $(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$ के साथ फार्म $\mathbb{Z}_2$ अभिनय कर रहे $U(1)$ प्रभारी संयुग्मन द्वारा।
जवाब
@Liceice ने क्लासिफाइड लाई ग्रुप्स के (आवश्यक रूप से जुड़े नहीं) के अपडेटेड उत्तर में मेरे संशोधित अनुमान को पहले ही साबित कर दिया है , लेकिन मुझे एक और, निकटता से संबंधित प्रमाण देना चाहिए।
जबसे $1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$हमेशा विभाजित होता है, क्या ऑट (जी) → आउट (जी) हमेशा एक कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड लेट समूह जी के लिए विभाजित होता है? , हम एक उपसमूह चुन सकते हैं$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$ जिसके लिए प्रतिबंध है $\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$एक समरूपता है। की प्रतिलोम छवि$R_0$ नक्शे के तहत $f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$ संयुग्मन द्वारा प्रेरित एक उपसमूह है $K \subseteq G$ किसका चौराहा है $G_0$ है $Z(G_0)$।
किसी को गुणा करना $g\in G$ मनमानी करके $h \in G_0$ संबंधित को गुणा करता है $f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$ एक मनमाना आंतरिक स्वप्रतिरक्षा द्वारा $f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$, बिना बदले $g$जुड़ा हुआ घटक है। इस प्रकार,$K$ के हर जुड़े घटक से मिलता है $G$।
का परिणाम का उपयोग परिमित कई जुड़ा घटकों के साथ किसी भी झूठ समूह में, वहाँ एक परिमित उपसमूह जो हर घटक को पूरा करती है मौजूद है? ,$K$ एक परिमित उपसमूह है $R$ के हर घटक को पूरा करता है $K$, इसलिए यह हर घटक से मिलता है $G$ साथ ही, और intersects $G_0$ अंदर $Z(G_0)$। डिजाइन द्वारा, के तत्व$R$ या तो गैर-तुच्छ बाहरी ऑटोमोर्फिम्स द्वारा कार्य करते हैं $G_0$ या वे तुच्छ कार्य करते हैं $G_0$। यह मेरे (संशोधित) अनुमान को प्रमाणित करता है।
टिप्पणी जोड़ा गया: एक दिलचस्प, फिर भी गलत, सामान्यीकरण कहा गया है और नीचे अस्वीकृत है।
यह सर्वविदित है कि कोई भी कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड लाई समूह$G_0$ रूप लेता है $$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$ कहां है $T^k$ निंदा करता है $k$-सूत्र, $G_1, \ldots, G_\ell$ कॉम्पैक्ट हैं, बस जुड़े हुए हैं, सरल झूठ समूह, और $P$केंद्रीय है। कोई सोच सकता है कि भावों के लिए भाव$G$ तथा $G_0$ जोड़ा जा सकता है, ताकि किसी भी कॉम्पैक्ट लाई समूह $G$ फार्म लेना होगा: $$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$ जहां से पहले के प्रत्येक तत्व के रूप में $R$ एक गैर-तुच्छ बाहरी द्वारा कार्य करता है या तुच्छ रूप से कार्य करता है $T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$। हालाँकि, यह गलत है ।
प्रतिपक्ष: विचार करें $G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$, जहां जनरेटर $r \in \mathbb{Z}_4$ पर समता द्वारा कार्य करता है $\mathrm{SO}(2k)$ तथा $r^2 = -1 \in SO(2k)$। अब छोडो$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$ का कवर बनो $G$ जिसका जुड़ा घटक है $G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$। कुछ तत्व है$r'$ का $R$ कि परियोजनाओं के लिए $r$, इसलिये $r’$ पर कार्य करता है $\mathrm{Spin}(2k)$समता से। अगर$k$ अजीब है, फिर $Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$, तथा $(r’)^2$ आदेश 4 में दो तत्वों में से एक होना चाहिए $Z(G_0')$ को प्रोजेक्ट करना है $(r)^2 = -1$। हालांकि, समानता इन दो तत्वों का आदान-प्रदान करती है, इसलिए हम पाते हैं$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$, जो एक विरोधाभास है। सम का मामला$k$ बहुत समान है।