क्या Gysin में नक्शा है $K$-समाज सम्मान बोर्डिंग?
लश्कर $X_1$ तथा $X_2$ दो बंद स्पिन हो$^c$ कई गुना है कि एक स्पिन के माध्यम से कर रहे हैं$^c$ कई गुना-साथ सीमा $W$।
लश्कर $Z$ एक बंद स्पिन हो$^c$ के साथ कई गुना $\dim Z=\dim X_1$ आधुनिक $2$। लश्कर$$f_1:X_1\to Z,\qquad f_2:X_2\to Z,\qquad F:W\to Z$$ सुचारू रूप से नक्शों की तरह हो $F|_{X_1}=f_1$ तथा $F|_{X_2}=f_2$। हम सहयोगी हो सकते हैं$f_1$ तथा $f_2$ दो गलत तरीके (या Gysin) में नक्शे $K$-theory:
$$f_{1!}:K^0(X_1)\to K^0(Z),$$ $$f_{2!}:K^0(X_2)\to K^0(Z).$$
लश्कर $E_1\to X_1$ तथा $E_2\to X_2$ दो हो $\mathbb{C}$-वेक्टर बंडलों जैसे कि एक वेक्टर बंडल मौजूद है $\Omega\to W$ संतोषजनक $\Omega|_{X_1}\cong E_1$ तथा $\Omega|_{X_2}\cong E_2$। लश्कर$[E_i]\in K^0(X_i)$ निंदा करना $K$-द्वारा परिभाषित कक्षाएं $E_i$।
प्रश्न: क्या यह सच है$f_{1!}[E_1]=f_{2!}[E_2]\in K^0(Z)$?
इसके बाद जोड़ा गया: मैं के-सिद्धांत / के-होमोलॉजी के लिए सीधे पॉइंकेयर द्वैत का उपयोग नहीं करने के दृष्टिकोण में सबसे अधिक दिलचस्पी रखूंगा।
जवाब
लश्कर $N^n=\partial M^{n+1}$, $E\in K^\bullet(M)$ तथा $f:M\to X$
एक चिकनी एम्बेडिंग चुनें $i:X\to \mathbb{R}^N,N>>1$, द्वारा निरूपित करें $\chi$ का सामान्य बंडल $X$ और द्वारा $\mu$ का सामान्य बंडल $M$ के उपयुक्त छोटे विरूपण के बाद $i\circ f$।
लश्कर $\nu=\mu|_N$ तथा $\eta$ का सामान्य बंडल हो $N\subset M$ (जो तुच्छ और एक आयामी है)
ट्यूबलर पड़ोस पर विचार करके हम प्राकृतिक मानचित्र प्राप्त करते हैं:
$t:Th_\chi X\to Th_{\nu+\eta}N$, कहाँ पे $Th$ एक Thom स्थान को दर्शाता है।
थॉम आइसोमोर्फिज्म को लागू करने के बाद $th$ पर $K^\bullet$ हम एक Gysin मानचित्र की परिभाषा प्राप्त करते हैं (a पर "राइट-वे" में जाते हैं $Th$'एस)। के लिए$f_!(E|_N)=0$ यह साबित करने के लिए पर्याप्त है $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
वास्तव में $t^*$एक कनेक्टिंग होमोमोर्फिज्म से गुजर रहा है। अर्थात्, एक कम्यूटेटिव आरेख है:
$\begin{matrix} Th_{\chi}X&\to& Th_{\mu}M/Th_\nu N&\\ \downarrow{t}&\swarrow{\sigma}&\downarrow{\Sigma}&\\ Th_{\nu+\eta}N&\xrightarrow{\sim}& \Sigma Th_{\nu}N&\\ \end{matrix}$
शीर्ष तीर ट्यूबलर पड़ोस से आता है।
क्षैतिज समरूपतावाद तुच्छता से आता है $\eta$, जबकि निलंबन $\Sigma$ पप्पी कोफ़ाइबर अनुक्रम से:
$Th_\nu N\to Th_\mu M\to Th_\mu M/Th_\nu N\xrightarrow{\Sigma} \Sigma Th_{\nu}N$
नक्शा $\sigma$ कम्यूटिटी की व्याख्या करता है और इससे आ रहा है:
$Th_\mu M/Th_\nu N\sim Th_\mu M/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to$ $Th_\mu (N\times(-\varepsilon,\varepsilon))/Th_\mu (N\times [0,\varepsilon))\to Th_{\nu+\eta}N$ कहाँ पे $N\times [0,\varepsilon)\subset M$ का कॉलर है $N$।
आखिरकार, $\Sigma^*$ कनेक्टिंग होमोर्फिज़्म है और यह इस प्रकार है $\Sigma^* th_{\nu}(F)=0$ सबके लिए $F\in Im( K^\bullet(M)\to K^\bullet(N))$, इसलिए $t^* th_{\nu+\eta}(E|_N)=0$
उत्तर हां है, जो सामान्य झुकाव और मौलिक वर्गों के गुणों का उपयोग करते हैं।
लश्कर $X_1$ तथा $X_2$ होना $n$--dimensional। फिर$f_{!i}$ समग्र है $$K^0(X_i) \xrightarrow[\sim]{\cap [X_i]} K_n(X_i) \xrightarrow{f_{i*}} K_n(Z) \xleftarrow[\sim]{\cap [Z]} K^0(Z).$$
इस बीच Poincare द्वंद्व के लिए $W$ का रूप है $K^0(W) \xrightarrow{\cap [W]} K_{n+1}(W, X_1 \coprod X_2)$, तथा $d([W]) = [X_1]-[X_2]$। इस प्रकार$ d(\Omega \cap [W]) = (E_1 \cap [X_1], -E_2 \cap [X_2])$, इसलिए
$$ (f_{1*})(E_1 \cap [X_1]) - (f_{2*}(E_2 \cap [X_2]) = F_* i_* (d(\Omega \cap [W])) = 0,$$
समग्र के बाद से
$$K_{n+1}(W,X_1\coprod X_2) \xrightarrow{d} K_n(X_1 \coprod X_2) \xrightarrow{i_*} K_n(W)$$
शून्य है।