क्या हम गारंटी दे सकते हैं कि मौजूद है $\epsilon' > 0$ ऐसी जो इस असमानता के लिए धारण करती है?
मैं वर्तमान में गुणात्मक सीमा कानून साबित करने की कोशिश कर रहा हूं:
लश्कर $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ वास्तविक संख्याओं के अभिसरण क्रम हो, और $X, Y$ वास्तविक संख्या हो $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ तथा $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$। $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$
चूंकि दोनों $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ तथा $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ क्रमशः एक्स और वाई के अभिसरण हैं, हम जानते हैं कि $|a_n - X| \leq \epsilon'$ तथा $|b_n - Y| \leq \delta$।
हम यह भी जानते हैं, कुछ लेम्मा से हम पहले किताब में साबित कर चुके हैं, कि $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$।
यह एकदम सही है, क्योंकि मैं इसे दिखाने के लिए इसका उपयोग कर सकता हूं $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ कुछ मध्यस्थ के लिए $\epsilon > 0$, जब तक मैं दिखाता हूं कि वहां मौजूद है $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ और वहां कुछ मौजूद है $0 < \delta < 1$ ऐसा है कि $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$
मैं वास्तविक भाग की आर्किमिडीयन संपत्ति का उपयोग करके पहला भाग साबित कर सकता था, लेकिन मैं दूसरे भाग के बारे में इतना सुनिश्चित नहीं हूं। दूसरा भाग यह महसूस करता है कि यह काम करना चाहिए क्योंकि हम एक मनमाने ढंग से छोटा चुन सकते हैं$\delta$, लेकिन मैं यह साबित नहीं कर सकता कि यह करता है। क्या मुझसे कुछ गलत हो रही है? क्या इस प्रमाण को बदलने के लिए इसे काम करना संभव है?
जवाब
अगर $a_n \to a, b_n \to b$ तो कुछ है $M$ ऐसा है कि $|a|,|b_n| \le M$।
फिर $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$।
अब चुनें $N$ इतना बड़ा कि $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$।