क्या कॉम्पैक्ट सेटों की गणना योग्य असहमति के रूप में एक मीट्रिक को एक स्थान लिखना संभव है?

Question

चलो $ (X,d)$ एक मीट्रिक स्पेस और रहने दो $\mu $ एक रैडॉन बनो $\sigma$-बोरेल पर अनंत उपाय $\sigma$-बैलब्रिज। मैंने पढ़ा है कि यह गणना योग्य असम्बद्ध कॉम्पैक्ट सेट को खोजने के लिए संभव है$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$ और एक $\mu$-शून्य सेट $N$ ऐसा है कि $$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$

मैंने आंतरिक नियमितता का उपयोग करके कुछ परिणामों तक पहुंचने की कोशिश की है $\mu$, लेकिन कुछ नहीं। क्या यह कथन सत्य है? मैं इसे कैसे साबित कर सकता हूं?

Answer 1

यहाँ महत्वपूर्ण धारणा यह है कि $\mu$एक रेडॉन उपाय है, जिसका अर्थ है कॉम्पैक्ट सेट के संबंध में आंतरिक रूप से नियमित । इस धारणा के बिना, यह सच नहीं है, भले ही नहीं$\mu$ परिमित है (उदाहरण के लिए, लगातार रिक्त स्थान का समर्थन करने वाले मीट्रिक स्थान हैं, जिसमें सभी कॉम्पैक्ट सेट परिमित हैं)।

लिखो $X=\bigcup_n X_n$, जहां प्रत्येक $X_n$बोरेल और परिमित माप के असंतुष्ट हैं। फिर पुनरावर्ती, एक कॉम्पैक्ट चुनें$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$ ऐसा है कि $\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$। फिर$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$ अशक्त है, और इसलिए $X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$ अशक्त है, और $K_{n,m}$ स्पष्ट रूप से असंतुष्ट हैं।