लश्कर $b_{n}$ की रचनाओं की संख्या को निरूपित करते हैं $n$ जांच $k$भागों, जहां प्रत्येक भाग एक या दो है। के लिए जनरेटिंग श्रृंखला खोजें $b_{n}$
मैं इस जुझारू समस्याओं के साथ फंस गया हूँ -
लश्कर $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक और जाने दो $b_{n}$ की रचनाओं की संख्या को निरूपित करते हैं $n$ जांच $k$भागों, जहां प्रत्येक भाग एक या दो है। उदाहरण के लिए,$(1, 2, 1, 2, 1)$ तथा $(2, 2, 1, 1, 1)$ की दो रचनाएँ हैं $n = 7$ जांच $k = 5$ भागों।
सबसे पहले, हमें इसके लिए जेनरेटिंग श्रृंखला खोजने की जरूरत है $b_{n}$
दूसरी बात यह है कि साबित करो $b_{n} = {k \choose n-k}$ के लिये $k\le n \le2k$ तथा $b_{n} = 0$ अन्यथा।
जवाब
उत्पन्न श्रृंखला की गणना करने के लिए -
{1,2}$^{𝑘}$ k भागों के साथ रचनाओं का समूह हो, जिनमें से प्रत्येक 1 या 2 हो।
फिर, "उत्पाद लेम्मा" को लागू करना $$\varphi_{s}(x) = (\varphi_{(1,2)} (x))^{k} = (x+x^{2})^{k} $$
साबित -
K भागों के साथ n की एक रचना होगी $i$ कुछ के लिए 2 के बराबर भागों $0\le i\le k$। ध्यान दें कि 1 के बराबर भागों की संख्या है$k-i$, तथा $n = (k-i) + 2i$, दे रहा है $i = n-k$। वहां$k$ के लिए पदों $n-k$ 2 के बराबर भाग, इसलिए कुल {k \ choose nk} की रचनाएं हैं $n$ जांच $k$ भागों, प्रत्येक या तो $1$ या $2$। ध्यान दें कि$0\le i\le k$ का तात्पर्य $k\le n\le 2k$, और अन्यथा रचनाओं की संख्या शून्य है।
दूसरे प्रश्न के लिए एक अच्छा संयोजन प्रमाण है:
की रचनाओं की संख्या $n$ जांच $k$ प्रत्येक के बराबर भागों $1$ या $2$ की रचनाओं की संख्या के बराबर है $n-k$ जांच $k$ प्रत्येक के बराबर भागों $0$ या $1$। जाहिर है वहाँ होना चाहिए$n-k$ $1$ऐसी रचना में है, और हैं $\binom k{n-k}$ उन की व्यवस्था के तरीके $1$के बीच है $k$ भागों।
(१) यह है $(x+x^2)^k=x^k(1+x)^k$
(२) गुणांक $x^n$ में है $x^k(1+x)^k$ के समान $x^{n-k}$ में $(1+x)^k$। इसलिए द्विपद प्रमेय द्वारा यह है${k\choose n-k}$