Lipschitz और के बीच क्या संबंध है $BMO$ रिक्त स्थान?
लश्कर $0 < \alpha < 1$। अंतरिक्ष$\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ Lipschitz के क्रम के साथ निरंतर कार्य करता है $\alpha$ है
$$ \text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)=\{f: |f(x)-f(y)|\le C|x-y|^{\alpha} \quad\text{ for a.e. }\,x, y \in \mathbb{R}^n\}. $$ सबसे छोटा ऐसा स्थिरांक $C$ कहा जाता है $\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)$ का मानदंड $f$ और द्वारा निरूपित किया जाता है $\|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}$।
इस मानदंड में निम्नलिखित अभिन्न प्रतिनिधित्व है:
$$ \|f\|_{\text{Lip}_{\alpha}(\mathbb{R}^n)}\thickapprox\sup_{B}\frac{1}{|B|^{1+\alpha/n}}\int_{B}|f(x)-f_{B}|dx, $$ कहाँ पे $f_{B}=\frac{1}{|B|}\int_{B}f(y)dy$। यह स्पष्ट है कि के लिए$\alpha=0$ दाहिने हाथ की ओर की परिभाषा है $BMO$ का मानदंड $f$।
इन तथ्यों के अनुसार हम कह सकते हैं कि Lipschitz स्थान शामिल है $BMO$अंतरिक्ष? Lipschitz और के बीच क्या संबंध है$BMO$ रिक्त स्थान?
जवाब
मैं उन रिक्त स्थानों का एक समूह परिभाषित करने जा रहा हूं, जो सभी "नियमितता" के कार्यों का वर्णन करते हैं $\alpha$" किसी अर्थ में।
Höld रिक्त स्थान: यहाँ$\alpha$ में होगा $[0,1]$। परिभाषित$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ सभी कार्यों का स्थान होना चाहिए $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ ऐसा है कि $|f(x)-f(y)| \leq C|x-y|^{\alpha}$ कुछ के लिए $C>0$ स्वतंत्र $x,y \in \Bbb T^n$। सबसे छोटा ऐसा स्थिरांक$C$ द्वारा कहा जाता है, धारक अर्धसूत्रीविभाजन $[f]_{\alpha}$। Banach अंतरिक्ष मानदंड$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ द्वारा परिभाषित किया गया है $\|f\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)}+[f]_{\alpha}.$ ध्यान दें कि कब $\alpha = 0$ हमें बस मिलता है $L^{\infty}(\Bbb T^n)$। समान रूप से कोई भी वर्णन कर सकता है$Lip_{\alpha}(\Bbb T^n)$ कार्यों के सेट के रूप में $f$ ऐसा है कि $\sup_{x\in Q}|f(x)-f_Q| \leq C|Q|^{\alpha/n},$ सभी क्यूब्स के लिए $Q \subset \Bbb T^n$, कहाँ पे $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, तथा $|Q|$ Lebesgue का माप है $Q$। (इस तुल्यता को सिद्ध करना कठिन है।)
बेसोव रिक्त स्थान: यहाँ$\alpha$कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। कोई फंक्शन$f:\Bbb T^n \to \Bbb R$एक विहित विघटन को मानते हैं जिसे लिटलवुड-पैली अपघटन कहा जाता है $f = \sum_{j\ge 0} f_j$। बेसोव स्थान$B^{\alpha}_{\infty,\infty}(\Bbb T^n)$ उन कार्यों के होते हैं $f$ ऐसा है कि $\|f_j\|_{L^{\infty}(\Bbb T^n)} \leq C2^{-\alpha j}$ कुछ के लिए $C$ जो स्वतंत्र है $j$। सबसे छोटा स्थिर$C$जिसके लिए असमानता रखती है उसे बेसोव मानदंड कहा जाता है। यह एक Banach अंतरिक्ष संरचना पर प्रेरित करता है$B^{\alpha}_{\infty,\infty}$। अंतरिक्ष$B^1_{\infty,\infty}$को Zygmund वर्ग कहा जाता है और इसे सभी कार्यों के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जाता है$f$ ऐसा है कि $$|f(x+h)+f(x-h)-2f(x)| \leq C|h|,$$ तथा $B^0_{\infty,\infty}$ ज़िगमुंड वर्ग से कार्यों के वितरण संबंधी व्युत्पन्न होते हैं।
बीएमओ रिक्त स्थान: यहाँ$\alpha$ में होगा $[0,1]$। हमें अंतरिक्ष परिभाषित करते हैं$BMO_{\alpha}(\Bbb T^n)$ सभी कार्यों का स्थान होना चाहिए $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ ऐसा है कि $\sup_Q \frac{1}{|Q|^{1+\alpha/n}}\int_{Q} |f-f_Q|dx <\infty$, जहां सुपर सभी क्यूब्स से अधिक है $Q\subset \Bbb T^n$, तथा $f_{Q} := \frac1{|Q|} \int_Q f$, तथा $|Q|$ Lebesgue का माप है $f$। पर मानदंड$BMO_{\alpha}$ इसे उस वर्चस्व के रूप में परिभाषित किया गया है, जो इसे एक बाॅंच स्थान बनाता है।
निरंतर कार्य स्थान: यहाँ$\alpha=:k$ में मान लेना चाहिए $\Bbb N$। फिर$C^{k}(\Bbb T^n)$ सभी कार्यों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $f:\Bbb T^n \to \Bbb R$ ऐसा आदेश के सभी आंशिक व्युत्पन्न $k$निरंतर हैं आदर्श को ऑर्डर करने के लिए आंशिक डेरिवेटिव के सभी के समान मानदंडों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है$k$। फिर से, हमें एक Banach स्थान मिलता है।
तो अब सवाल यह है कि ये सभी रिक्त स्थान कैसे संबंधित हैं?
प्रमेय 1: यदि$\alpha \in (0,1)$ फिर $$ Lip_{\alpha}(\Bbb T^n) = B^{\alpha}_{\infty,\infty} (\Bbb T^n)= BMO_{\alpha}(\Bbb T^n).$$ सभी मानदंड समतुल्य हैं।
प्रमेय 2: के लिए$\alpha = 0$ हमारे पास निम्नलिखित निष्कर्ष हैं: $$C^0(\Bbb T^n) \subsetneq L^{\infty}(\Bbb T^n) \subsetneq BMO_0(\Bbb T^n) \subsetneq B^0_{\infty,\infty}(\Bbb T^n).$$इसलिए कोई भी मानदंड समकक्ष नहीं है। के लिये$\alpha=1$ हमारे पास उचित समावेशन का क्रम है।
मूल रूप से प्रमेय 1 में समतुल्य हमेशा डायडिक ब्लॉकों पर एक संगणना करने के लिए नीचे उबलते हैं। वे के लिए असफल$\alpha=0$ इस तथ्य के कारण कि श्रृंखला $\sum 2^{-\alpha n}$ के लिए विचलन $\alpha=0$।
क्षमा करें यदि यह अस्पष्ट था। संदर्भों के साथ अपडेट करने का प्रयास करेंगे।