QFT आवृत्ति डोमेन का प्रतिनिधित्व कैसे करता है?
क्यूएफटी को अक्सर शास्त्रीय एनालॉग के माध्यम से समझाया जाता है जो एक निश्चित फ़ंक्शन को टाइम डोमेन से आवृत्ति डोमेन में परिवर्तित करता है। जब असतत फूरियर रूपांतरण को देखते हैं, तो यह समझ में आता है कि पाप तरंग एक निश्चित आवृत्ति पर स्पाइक बन जाती है।
हालाँकि, मैं यह नहीं देखता कि यह "फ़्रीक्वेंसी डोमेन" धारणा क्वांटम फूरियर ट्रांसफॉर्म पर कैसे लागू होती है। फ़ॉयर बेस इस आवृत्ति डोमेन का प्रतिनिधित्व कैसे करता है?
यदि हम एक क्वांटम "पाप तरंग" पर एक QFT लागू करते हैं तो क्या यह एक निश्चित आवृत्ति का उत्पादन करेगा?
जवाब
फ़ॉयर ट्रांसफ़ॉर्म टाइम डोमेन से फ़्रीक्वेंसी डोमेन में जाने की तुलना में अधिक सामान्य है। उदाहरण के लिए, भौतिक विज्ञानी नियमित रूप से फूरियर स्थिति स्थान से गति स्थान में बदलते हैं।
इन दोनों उदाहरणों में, फूरियर ट्रांसफॉर्म एक आधार परिवर्तन है, अर्थात यह आधार वैक्टर को परिवर्तित कर रहा है जो किसी राज्य को बदलने के बिना किसी राज्य का प्रतिनिधित्व करता है। इसी तरह, QFT बस कम्प्यूटेशनल आधार से फूरियर के आधार पर एक परिवर्तन है ।
यह देखने के लिए कि QFT अधिक परिचित फूरियर रूपांतरणों से कैसे संबंधित है, यह विचार करने में मददगार हो सकता है कि पूर्णांक और कम्प्यूटेशनल आधार दोनों पर पूर्णांक का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है। वर्णन करने के लिए, मैं चार-क्विट सिस्टम के लिए QFT के एक विशिष्ट उदाहरण के माध्यम से चलूँगा।
कम्प्यूटेशनल आधार में, पूर्णांक द्विआधारी रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं (सम्मेलन द्वारा बाईं ओर एमएसबी के साथ)। तो चार कौड़ी का$$\vert 0 \rangle=\vert 0000 \rangle, \;\;\vert 1 \rangle=\vert 0001 \rangle, \;\; \vert 2 \rangle=\vert 0010 \rangle,\;\; ..., \;\; \vert 15 \rangle =\vert 1111 \rangle.$$ बीजगणितीय रूप से यह द्वारा दिया जाता है $$\vert n \rangle=\vert a(2^3)+b(2^2)+c(2^1)+d(2^0) \rangle=\vert abcd \rangle, \;\; a,b,c,d \in \lbrace 0,1 \rbrace, \; n \in \lbrace 0,...,15\rbrace.$$ से जुड़े चार बलोच क्षेत्रों पर $\vert abcd \rangle$से गिनती होती है $\vert 0 \rangle$ सेवा मेरे $\vert 15 \rangle$जैसा दिखता है:
आप देख सकते हैं कि बलोच के प्रतिनिधित्व में, अलग-अलग मूल्य हैं $\vert n \rangle$ या तो उनके उत्तरी ध्रुव पर बटेरों के निर्धारित सेट से प्रतिष्ठित हैं, $\vert 0 \rangle$, या उनके दक्षिणी ध्रुव, $\vert 1 \rangle$। गहनता से, गिनती करते समय, एलएसबी के साथ जुड़े हुए पंचक,$\vert d \rangle$, परिवर्तन हर कदम पर राज्य करता है, जबकि एमएसबी के साथ जुड़े qubit, $\vert a \rangle$, हर आठवें चरण में परिवर्तन होता है। [ध्यान दें कि बलोच क्षेत्र वास्तव में रीमैन क्षेत्र (यानी जटिल प्रक्षेप्य रेखा) है, इसलिए रूढ़िवादी राज्य, जैसे$\vert 0 \rangle$ तथा $\vert 1 \rangle$, प्रतिपक्षी बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है।]
वही 16 पूर्णांक फूरियर के आधार पर दर्शाए गए, $ \text{QFT} \vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle =\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle $, द्वारा बीजगणितीय रूप से दिया जाता है $$\vert \tilde n \rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2^4}}(\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^2} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^3} \vert 1 \rangle) \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2\pi in/2^4} \vert 1 \rangle).$$ अब जैसे कि हम फूरियर बेस में से गिनती करते हैं $\vert \tilde n \rangle = \vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle = \vert \tilde 0 \rangle$ सेवा मेरे $\vert \tilde {15} \rangle$ सभी चार क्वैब हर अवस्था को बदलते हैं $\vert \tilde a \rangle$ सबसे बड़ा कदम (यानी के बीच स्वैपिंग) $\vert + \rangle$ तथा $\vert - \rangle$, जो है $\frac{1}{2}$ प्रति चरण एक मोड़) और $\vert \tilde d \rangle$ सबसे छोटा कदम उठाना ($\frac{1}{16}$ प्रति चरण एक मोड़)।
से जुड़े चार बलोच क्षेत्रों पर $\vert \tilde a \tilde b \tilde c \tilde d \rangle$फूरियर के आधार पर गिनती, प्रत्येक क्वेट स्टेट के रूप में भूमध्यरेखीय विमान में घूमती हुई आवृत्ति से घटती हुई प्रतीत होती है $\vert \tilde a \rangle$ सेवा मेरे $\vert \tilde d \rangle$।
से एक एकल गिनती क्रम में $\vert \tilde 0 \rangle$ सेवा मेरे $\vert \tilde {16} = \tilde 0 \, (\text{mod} \, \tilde {16}) \rangle$ के साथ जुड़े qubits $\vert \tilde a \rangle, \, \vert \tilde b \rangle, \, \vert \tilde c \rangle$, तथा $\vert \tilde d \rangle$ बिलकुल ठीक $2^3, \, 2^2, \, 2^1$, तथा $2^0$अपने संबंधित भूमध्यरेखीय विमानों में पूर्ण घुमाव। इसी तरह, अगर हम भूमध्यरेखीय विमान में "नो रोटेशन" को राज्य मानते हैं$H\vert 0 \rangle=\vert+\rangle$, तब फिर $\vert \tilde 0 \rangle = \vert ++++ \rangle$ जबकि सभी qubits अनियंत्रित, देता है $\vert \tilde {15} \rangle$अपने अधिकतम घुमाव (सकारात्मक दिशा में) पर सभी मात्राएं देता है। [ध्यान दें कि सिंगल क्वैब QFT सिर्फ हैडमर्ड गेट है,$H$। के बदले में,$H$जैसा कि इस पिछले उत्तर में बताया गया है, केवल 2-स्तरीय डीएफटी है ।]
इस उदाहरण में आप देख सकते हैं कि उच्च परिमाण किस प्रकार से जुड़ा हुआ है$\vert a \rangle$ के घटक के रूप में $\vert n \rangle$कम्प्यूटेशनल आधार में एक उच्च आवृत्ति के साथ जुड़ा हुआ है$\vert \tilde a \rangle$ के घटक के रूप में $\vert \tilde n \rangle$ फूरियर के आधार पर, और इसके लिए आगे $\vert b \rangle \,, \vert c \rangle$, तथा $\vert d \rangle$। उम्मीद है कि यह QFT और DFT के बीच सादृश्य को अधिक मूर्त बनाने में मदद करता है।
ऊपर इस्तेमाल किए गए समीकरण चार-क्विट सिस्टम के उदाहरण के लिए विशिष्ट थे। वे स्वाभाविक रूप से सामान्यीकरण करते हैं$N$-क्वेट सिस्टम के रूप में $$\vert n \rangle = {\Big \vert} \sum_{k=0}^{N-1} x_k 2^k {\Big \rangle} = \vert x_0 ... x_{N-1} \rangle, \; x_k = \lbrace 0,1 \rbrace, \, n= \lbrace 0,...,2^N-1 \rbrace,$$ $$\text{QFT}\vert n \rangle = \vert \tilde n \rangle = \frac{1}{\sqrt{2^N}}(\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2} \vert 1 \rangle) \otimes ... \otimes (\vert 0 \rangle + e^{2 \pi i n / 2^N} \vert 1 \rangle).$$
यदि आप QFT के साथ अतिरिक्त परिचित और आराम की तलाश कर रहे हैं, तो यह अपने आप को समझाने के लिए एक महान अभ्यास है कि दोनों $\vert n \rangle$ तथा $\vert \tilde n \rangle$ के लिए असाधारण आधार हैं $\mathbb{C}^{2^N}$। एक और महान व्यायाम है कि खुद को समझाएं$$QFT = \frac{1}{\sqrt{2^N}} \sum_{n=0}^{2^N-1} \, \sum_{\tilde n=0}^{2^N-1}e^{2 \pi i n \tilde n/2^N} \vert \tilde n \rangle \langle n \vert$$ पर एक एकात्मक ऑपरेटर है $\mathbb{C}^{2^N}$। (ध्यान दें कि इन दो एक्सर्साइज़ में कथनों की वैधता का अर्थ दूसरे की वैधता है।)
यदि आप आवेदन करते हैं $n$-क्वेट QFT के रूप में परिभाषित किया गया है $\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k = 0}^{N - 1}\sum_{n = 0}^{N - 1}a_n e^{2 \pi i n k/N}\left|k \right>$ एक राज्य पर अभिनय $\sum_{x = 0}^{N - 1}a_x\left|x\right>$ साथ से $N = 2^{n}$ एक आवृत्ति के साथ एक पाप तरंग पर $k$ के रूप में परिभाषित $\frac{1}{2^{(n - 1)/2}}\sum_{x = 0}^{N -1}\sin(\frac{2 \pi x k}{N})\left|x\right>$ साथ से $n > 1$ तथा $k \neq 0$ केवल शून्य मान रखने से बचने के लिए, परिणाम होगा $\frac{i}{\sqrt{2}}\left|k\right> - \frac{i}{\sqrt{2}}\left|N - k\right>$। यह सहज रूप से नियमित फूरियर रूपांतरण से मेल खाता है जो देता है$\frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega - 2 \pi k) - \frac{i \sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\delta(\omega + 2 \pi k)$ के लिये $sin(2 \pi kx)$ यदि आधुनिक भौतिकी रूप का उपयोग कर रहे हैं ($\hat f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{i \omega t}dt$) और साथ $\omega$निरूपित आवृत्ति। दूसरी ओर, लहर$\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x = 0}^{N - 1}e^{-2 \pi x k/N}\left|x\right>$ काल्पनिक पाप तरंग के साथ एक वास्तविक कोसिन तरंग को जोड़ती है और स्वाभाविक रूप से सीधे रूप में रूपांतरित हो जाती है $\left|k\right>$।
QFT में "समय चर" के लिए पत्राचार समय नहीं है, बल्कि कम्प्यूटेशनल आधार बताता है, लेकिन दो आधारों के बीच का संबंध समय और आवृत्ति के समान है। यदि आप लेवें$N$ समान रूप से कॉम्प्लेक्स यूनिट सर्कल पर अंक दिए गए हैं जो एक साथ पूरे सर्कल में जाते हैं ()$e^{-2\pi i x/N}$ के लिये $x$ से $0$ सेवा मेरे $N - 1$ दक्षिणावर्त के माध्यम से जाता है), फिर संभावना आयाम के साथ $a_k$ प्रत्येक आवृत्ति $k$ से मेल खाती है $\frac{a_k}{\sqrt{N}}\sum_{x=0}^{N - 1}e^{-2 \pi i x k /N}\left|x\right>$: पारंपरिक "फ्रीक्वेंसी" की सहज कड़ी यह है कि आधार इकाइयों के पार जाने के दौरान कितनी बार जटिल इकाई चक्र पूरी तरह से चक्कर लगाता है। सभी आवृत्तियों के लिए इनका योग हमेशा की तरह मूल स्थिति देता है।