से संबंधित प्रधान $0$
यह प्रश्न अधिक सामान्य है, लेकिन मैं इसे प्रेरित करने के लिए एक प्रमेय का उपयोग करने जा रहा हूं।
मान लीजिए मैं साबित करना चाहता हूं कि एक तर्कसंगत अस्तित्व है $r$ ऐसा है कि $r^3 + r + 1 = 0$। पहला कदम यह मान लेना है कि ऐसा है$r$, तोह फिर $r = \frac{p}{q}$ कहां है $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ कहां है $p,q$ अपेक्षाकृत प्रमुख हैं।
यहाँ मेरा सवाल है। यदि यह हो तो$r$ थे $0$ (यह नहीं है, और मैं इसे बाहर शासन कर सकता हूं, लेकिन मुझे इस बात में दिलचस्पी है कि क्या मुझे वास्तव में पूर्ण कठोरता के लिए शासन करने की आवश्यकता है), $r = \frac{0}{q}$। परंतु$0 \cdot 0 = 0$ तथा $0 \cdot q = 0$, तो दोनों $p$ तथा $q$ का एक सामान्य कारक है $0$।
परंतु $\gcd(p,q) = 1$, फिर भी, तब से $1 > 0$, और अगर यह मामला नहीं लगता है $q$ नकारात्मक है।
इसके आधार पर, मेरा निष्कर्ष यह है कि अगर यह वास्तविक मामला नहीं है $p = 0$और मुझे इस पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है। क्या वह सही है? अगर मैंने लिखा "मान लिया$p$ तथा $q$ कोई सामान्य कारक नहीं है, "यह पहले से ही थोड़ा अस्पष्ट है क्योंकि उनके पास निश्चित रूप से एक सामान्य कारक है $1$, लेकिन अधिक औपचारिक "अपेक्षाकृत प्रमुख" धारणा ठीक लगती है।
जवाब
यदि हम प्रतिस्थापित करते हैं "$p,q$ अपेक्षाकृत "प्रमुख" हैं$\frac pq$ 'सबसे कम अवधि' में है क्या यह बदलेगा कि आप इसके बारे में कैसे सोचते हैं?
अगर $q > 1$ तब फिर $\frac 0q = \frac 01$ तोह फिर $\frac 0q$ सबसे कम शब्दों में नहीं है।
यदि हम संकेतन का उपयोग करते हैं $\gcd$ और "रिश्तेदार प्रधानमंत्री" हालांकि तर्क समान है।
जैसा $0\cdot q = 0$ हमारे पास है $q$ का एक भाजक है $0$ इसलिए $\gcd(0, q) = q$ और अगर $q > 1$ तब फिर $\gcd(0,q) = q$ और इसीलिए
अगर $q>1$ तब फिर $0$ तथा $q$ अपेक्षाकृत प्रमुख नहीं हैं।
परंतु $\gcd(0,1) = 1$ तोह फिर
$0$ तथा $1$ अपेक्षाकृत प्रमुख हैं।
और हम बस जारी रख सकते हैं।
====
लेकिन अपने विश्लेषण में आप भ्रमित हो गए और एक दृढ़ विश्वास बना लिया।
आप कहते हैं:
लेकिन 0 But0 = 0 और 0⋅q = 0, इसलिए p और q दोनों का एक समान कारक 0 है।
काफी नहीं। अपने पास$0\cdot q =0$। आपके पास नहीं है$0\cdot something = q$। इसलिए$0$का कारक नहीं है$q$। इसलिए$0$खुद को छोड़कर किसी चीज का कारक नहीं है।
आपके पास जो है और जो कहना चाहिए था, वह है$0\cdot q = 0$ तथा $1\cdot q = q$ यह है कि $q$ (और नहीं $0$) कि एक आम कारक है $0$ तथा $q$।
वास्तव में प्रत्येक वस्तु एक कारक है$0$ तोह फिर $\gcd(0,anything) = |anything|$। (परवाह करना$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ क्योंकि अगर कुछ भी दोनों को विभाजित करता है $a$ तथा $b$ यह भी विभाजित है $-a$ तथा $-b$।)
तथा $0$ तथा $q$ अपेक्षाकृत प्रमुख साधन हैं $\gcd(0, q) = 1$। परंतु$\gcd(0, q) = |q|$ ऐसा है $0$ तथा $q$ अपेक्षाकृत प्राइम हमारे पास होना चाहिए $q = \pm 1$।
…।
ओह, मुझे इशारा करना चाहिए, क्योंकि प्रसून विश्वास ने मुझे सही किया, कि जब हम परिभाषित करते हैं $\gcd(a,b)$और "सबसे बड़ा" आम भाजक, अधिकांश ग्रंथों का यह मतलब नहीं है कि परिमाण में "सबसे बड़ा" है, लेकिन विभाजन में "सबसे बड़ा" है। हम परिभाषित करते हैं$a\preceq b$ उसका मतलब है $a$ बांटता है $b$और यह एक आंशिक क्रम है (कुल नहीं, किसी भी दो तत्वों की तुलना नहीं)। इस आदेश का उपयोग करते हुए "सबसे बड़ा" आम भाजक सामान्य भाजक है जिसे अन्य सभी सामान्य भाजक में विभाजित करते हैं।
अधिकांश भाग के लिए परिभाषा समान है $a,b$ दोनों सकारात्मक हैं $a\preceq b \implies a \le b$। और अगर$a,b$ सकारात्मक पूर्णांक परिमाण में सबसे बड़ा सामान्य भाजक हैं और विभाज्यता में सबसे बड़ा सामान्य भाजक समान हैं।
लेकिन इस मामले में जैसा कि सब कुछ बंट जाता है $0$, हमारे पास हमेशा है $q\preceq 0$ तथा $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ तथा $0$सभी पूर्णांकों की तुलना में विभाज्यता में अधिक है। तो हालांकि सभी$q$ के सामान्य विभाजक हैं $0$ तथा $0$, $\gcd(0,0) = 0$।