$\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{4^n \cos^2 (\frac{\pi}{2^{n+2}})}}$ [डुप्लीकेट]
$\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{4^n \cos^2 (\frac{\pi}{2^{n+2}})}}$
मैं इसकी गणना कैसे कर सकता हूं? क्योंकि वहां हैं$4^n$ तथा $\cos^2x$, मैंने कोशिश की: $$\sum_{n=1}^{\infty} {\frac{1}{4^n \cos^2 (\frac{\pi}{2^{n+2}})}} = 4\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin^2{\frac{\pi}{4 \cdot 2^n}}}{4^{n}\sin^2{\frac{\pi}{4\cdot2^{n-1}}}}}$$ उपयोग करने के लिए $2\sin x \cos x = \sin2x$
जवाब
नोटिस $$\begin{align}\frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}} &= \frac{2}{1+\cos\theta} = 2\frac{1 - \cos\theta}{1-\cos^2\theta} = \frac{4 - 2(1+\cos\theta)}{1-\cos^2\theta}\\ &= \frac{4}{\sin^2\theta} - \frac{2}{1-\cos\theta} = \frac{4}{\sin^2\theta} - \frac{1}{\sin^2\frac{\theta}{2}} \end{align} $$ हमारे पास है $$\begin{align} \sum_{n=1}^p \frac{1}{4^n\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} &= \sum_{n=1}^p \left[ \frac{1}{4^{n-1}\sin^2\frac{\pi}{2^{n+1}}} - \frac{1}{4^n\sin^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} \right]\\ &=\frac{1}{4^{1-1}\sin^2\frac{\pi}{2^{1+1}}} - \frac{1}{4^p\sin^2\frac{\pi}{2^{p+2}}}\\ &= \frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4}} - \frac{\frac{16}{\pi^2}}{\left(\frac{2^{p+2}}{\pi}\sin\frac{\pi}{2^{p+2}}\right)^2} \end{align} $$ जबसे $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, अंतिम समय में भाजक को जाता है $1$ जैसा $p \to \infty$, नतीजतन,
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = \lim_{p\to\infty} \sum_{n=1}^p \frac{1}{4^n\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = 2 - \frac{16}{\pi^2} $$
यहाँ एक संकेत / सामान्य रोडमैप है कि मैंने इसे कैसे किया। मैंने आपके हेरफेर का उपयोग वैसे नहीं किया, इसलिए आपके द्वारा प्रदान की गई समस्या के मूल स्वरूप पर ध्यान दें। इस तथ्य का उपयोग करें$$\sin(x)=2\sin\bigl(\frac{x}{2}\bigr)\cos\bigl(\frac{x}{2}\bigr)$$। अब, इस अभिव्यक्ति में आवर्ती पाप शब्द को फिर से लिखना कैसे मैंने अभी किया, जहां मैंने मूल तर्क को आधा कर दिया। यह उत्पाद प्रतिनिधित्व का सामान्यीकरण करता है$$\sin(x) = 2^n\cos\bigl(\frac{x}{2^n}\bigr)\sin\bigl(\frac{x}{2^n}\bigr)\prod_{k=1}^{n-1}\cos\bigl(\frac{x}{2^k}\bigr).$$ इसका उपयोग करने के लिए आपको योग को शुरू करने की आवश्यकता है $n=2$। राशि के अंदर (अर्थात् अंदर) को फिर से लिखें$\cos$ तर्क) आपको एक निश्चित मूल्य में प्लग करने की अनुमति देता है $x$। आपको इस पहचान का उपयोग करने की आवश्यकता है ताकि यह राशि टेलीस्कोपिक श्रृंखला में बदल जाए जो अंततः उत्तर में आएगी। मुझे मिला$2-\frac{\pi^2}{16}$।