वो दिखाओ $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ बाउंडेड है, मोनोटोन है, और इसकी सीमा पाते हैं
साबित करो $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$बंधे और एकरस है। फिर इसकी सीमा खोजें।
सीमा पर मेरा प्रयास:
(इंडक्शन का उपयोग करके) हमारे पास बेस केस के लिए $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$। मान लें कि अनुक्रम के लिए बाध्य है$n = k$। फिर,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}
मुझे पद से हटा दिया गया है $x_{n + 2}$ पुनरावर्ती सूत्र में और मैं बीजगणित को बिना देखे उपरोक्त चरणों का उत्पादन करने के लिए नहीं देख सकता $x_{n + 2}$ ऊपरी / निचले बाउंड की अभिव्यक्ति में।
धन्यवाद।
अपडेट करें:
मैंने इसे साबित करने के लिए जोड़ा है:
हमारे पास है $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ तथा $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$। मान लें कि अनुक्रम के लिए बाध्य है$k+1$,
\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}
इसलिए, गणितीय प्रेरण के सिद्धांत से, अनुक्रम बाध्य है।
क्या यह मान्य है?
जवाब
उसका अवलोकन करो $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$। हम प्रेरण द्वारा साबित कर सकते हैं कि$x_n <2$ सबके लिए $n$। मान लीजिए कि असमानता के लिए सच है$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$। फिर$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$अब हम दिखाते हैं कि यह क्रम नीरस रूप से बढ़ रहा है। मान लो कि$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ कुछ के लिए रखती है $n\geq 2$। फिर$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ इस प्रकार $x_n$ऊपर से बंधा हुआ है और बढ़ता जा रहा है, इसलिए यह अभिसरण है। इसकी सीमा है$x$ संतुष्ट होना चाहिए $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ यानी, हमारे पास होना चाहिए $x=2$।
नहीं, आपका तर्क मान्य नहीं है। तुम दिखाते हो कि
$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$
यदि आप इंडक्शन लागू करते हैं, तो यह होता है
$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ जो बाध्य न हो।
लेकिन आप उपयोग कर सकते हैं
$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$
सीमा के लिए हम स्ट्रॉन्ग इंडक्शन का उपयोग करते हैं, यह तुच्छ है कि अनुक्रम सकारात्मक है। हम सभी के लिए वह दिखाना चाहते हैं$n \in \mathbb{N}$ हमारे पास है $x_{n} < 2$
- K = 1 के लिए हमारे पास है: $x_{1} = 0 < 2$
- लश्कर $n \in \mathbb{N}$ और मान लीजिए कि सभी के लिए $k \leq n$ हमारे पास है: $x_{k} < 2$
- हमारे पास है: $x_{n-1} < 2$ तथा $x_{n} < 2$
फिर: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
इसलिये: $x_{n+1} < 2$
एकरसता के लिए, सभी के लिए यह साबित करने के लिए फिर से प्रेरण का उपयोग करें $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$
- N = 1 के लिए, यह स्पष्ट रूप से है कि $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ जबसे $x_{1} = 0$
- लश्कर $n \geq 2$ और मान लीजिए कि सभी के लिए $k \leq n$ हमारे पास है: $x_{k+1} \geq x_{k}$
हमारे पास है: $x_{n} \geq x_{n-1}$ तथा $x_{n+1} \geq x_{n}$
इसलिये: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
इस प्रकार: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$
हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यह क्रम बढ़ता जा रहा है और इस प्रकार यह मोनोटोन है, और जब से यह बँधा हुआ है तब यह क्रम परिवर्तित हो जाता है। लश्कर$L$ अनुक्रम की सीमा हो, तो $L$ समीकरण का हल है $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, जो देता है $L = 2$