वॉल्यूम तुलना के संबंध में विभेदक असमानता
चलो $(M,g)$ पूर्ण बनो $n$आयामी डायनामैनियन कई गुना और चलो $p \in M$। विचार करें$(t,\Theta)$ , जियोडेसिक गोलाकार निर्देशांक चारों ओर $p$, कहाँ पे $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ तथा $\Theta$ में एक इकाई वेक्टर है $T_pM$। चलो$A_p(t,\Theta)$इन निर्देशांक में आयतन माप का घनत्व हो, अर्थात \ start {समीकरण *} d \ operatorname {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {समीकरण *} Gromov राज्यों का एक प्रसिद्ध प्रमेय अगर वह$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$, फिर मैप \ start {समीकरण} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ _ kappa} (t)} \ अंत {समीकरण} गैर है में बढ़ रहा है$t$। हमेशा की तरह,$sn_{\kappa}$द्वारा दिया जाता है \ begin {संरेखित *} एस.एन. _ {\ कप्पा} (टी) = \ begin {मामलों} \ frac {\ पाप {\ sqrt {k} टी}} {\ sqrt {कश्मीर}} & क> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}}} & k <0 \ end {मामले} \ end {संरेखित}} अब मैं चाहूंगा एक समान परिणाम साबित होता है जब अनुभागीय वक्रता$M$ऊपर से बंधा हुआ है। वह है, अगर$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$, फिर
\ start {समीकरण *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ _ kappa} (t) \ _ दाएँ) + \ _ kappa \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ _ kappa} (t)} \ right) \ geqslant 0 \ end (समीकरण *} I) मैं Gromov द्वारा दिए गए तर्क की नकल करने की कोशिश कर रहा हूं$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ और गणना करें $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, कहाँ पे $\text{II}(t)$ का दूसरा मौलिक रूप है $\partial B(p,t)$। लेकिन चूंकि हम नीरसता के बारे में एक बयान नहीं दे रहे हैं, मुझे नहीं पता कि मैं कैसे शक्ति से छुटकारा पा सकता हूं$(n-2)$। इस तरह की अभिव्यक्ति में अंतर करना सीधे तौर पर डराना और थकाऊ लगता है, और मेरा मानना है कि समस्या का एक शॉर्टकट है क्योंकि यह जैकोबी क्षेत्रों के आदर्श के अनुमान के समान है। समस्या की किसी भी जानकारी की सराहना की जाएगी।
$\textbf{Update}$: दूसरे दिन मैंने सोचा कि मेरे पास एक समाधान है लेकिन फिर से जाँच के बाद मुझे नहीं लगता कि यह काम करता है। यहाँ मैंने क्या किया है: चलो$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ एक पथरी चाल का उपयोग कर सकते हैं $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $उस \ _ {संरेखित}} \ varphi '(t) & = (\ log \ varphi (t))' \ varphi (t) \\ & = (\ log A_ {p} (t, \ Theta) - की गणना करने के लिए (n-2) \ log sn _ {\ _ kappa} (t) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {Sn '_ {\ _ kappa} (t)} {sn _ {\ _ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {संरेखित}} और उस \ start {align *} \ varphi' '(t &) = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[पाठ {{} (\ पाठ {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ _ kappa} (t) } {Sn _ {\ _ kappa} (t)}] '+ [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ _ kappa} (t)} {एस.एन. _ {\ कप्पा} (टी)}] ^ 2 \} \ varphi (टी) \ अंत {संरेखित *} ध्यान दें कि$\varphi(t)$ जब गैर-नकारात्मक हो $t$छोटा है, इसलिए मूल असमानता को दर्शाने के लिए यह सही है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि \ start {समीकरण *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { sn '_ {\ _ kappa} (t)} {sn _ {\ _ kappa} (t)}]' + [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ _ kappa} (t)} {sn _ {\ _ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ टैग {$\star$} \ एंड {समीकरण *}
दूसरे तुलना अनुमान को याद करें (cf पीटरसन पेज 145 कोर 2.4) में कहा गया है कि यदि अनुभागीय वक्रता ऊपर से बंधी हुई है $\kappa$, फिर दूसरे मूलभूत रूप के प्रत्येक घटक को नीचे से बांधा जा सकता है, अर्थात \ start {समीकरण *} ((पाठ {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ Alpha, \ beta \ leqslant n}} \ _ geqllant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {समीकरण *} जो हमें \ समीकरण {समीकरण} \ text {tr देता है } (\ text {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ text {sn} '_ {K} (t)} {\ text {sn} _ {K} (t)} \ _ टैग {$\star \star$} \ n {समीकरण} और \ _ {समीकरण *} शुरू करें \ पाठ {tr} (\ पाठ {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t) )} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _appa} (t) )} \ end {समीकरण *} मैंने सोचा कि इस अभिव्यक्ति को वापस प्लग करें$\star$इस समस्या को हल करेगा, क्योंकि \ _ {समीकरण *} (\ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}' '+ ( \ frak {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {समीकरण *} लेकिन इसे बनाया यह घोषित करके एक घातक गलती$f \geqslant g$ का तात्पर्य $f' \geqslant g'$! ऐसा लगता है कि मैं एक वर्ग में वापस आ गया हूं, हालांकि मुझे अपेक्षाकृत अच्छी अभिव्यक्ति मिली है। किसी भी जानकारी या मदद की सराहना की जाएगी।
जवाब
इसलिए मेरे प्रोफेसर ने मुझे इस समस्या को हल करने का एक तरीका दिया। हमारे द्वारा \ समीकरण {समीकरण *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} ’_ {\ _ kappa} (t) प्राप्त करने के बाद )} {\ text {Sn} _ {\ _ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Part A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Part B} } + \ _ kappa \ geqslant 0 \ टैग {$\star$} \ अंत {समीकरण *} हम रिक्ती के समीकरण का उपयोग फिर से लिखना शुरू करने के लिए कर सकते हैं {संरेखित करें}} \ text {भाग A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frak {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (पाठ) { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {[kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ _ पाठ {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {संरेखित}} और विस्तार करने के बाद$\text{Part B}$, $\star$हो जाता है \ start {align *} & underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t) } {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}]} \ _ \ _ text {Part A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}] ^ 2} _ {text {part B}} + \ _ kappa \\ \ geqslant और \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} (\ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} ’_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ _ geqllant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}' + (\ frac {\ _ text) {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ _ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ \ _ kappa} (t)} {{text {sn} _ {\ _ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ _ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ _ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ _ kappa} (t)} / \ text {एस.एन.} _ {\ कप्पा} (टी)} ') (\ lambda_j (टी) - \ च दौड़ {\ पाठ {स्न} ’_ {\ _ कप्पा} (टी)} {\ पाठ {एसएन} _ {\ _ कप्पा} (टी)}’) \\ \ geqslant और 0 \ end {संरेखित}} जहां$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ के जन्मजात हैं $\text{II}(t)$। आखिरी असमानता हेसियन तुलना से होती है, जो पीटरसन की पुस्तक में कोरोलरी 2.4 में इंगित की गई है।