यह समझाते हुए कि बहुपद के लिए इसका क्या अर्थ है एफ पर अप्रासंगिक होना

Question

F को एक क्षेत्र मानने दें और F [x] F में गुणांक के साथ एक अनिश्चित x में बहुपदों की अंगूठी होने दें। बताएं कि F [x] में बहुपद g (x) के लिए इसका क्या अर्थ है।

मैं इस तरह सोच रहा हूं (इसे ठीक करना बहुत महत्वपूर्ण है):

इसका मतलब यह है कि एक फील्ड एफ में गुणांक के साथ डिग्री n> = 1 के बहुपद को एफ से अधिक विडंबनापूर्ण कहा जाता है यदि इसे n से कम डिग्री के F पर दो गैर-स्थिर बहुपद के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

इसे सही करने के लिए पर्याप्त है? या हो सकता है कि उन सभी के बारे में एक लाइन जोड़ दें?

Answer 1

आपको यह बताने की आवश्यकता नहीं है कि इसमें कम से कम दो कारकों के साथ अपराधों में एक कारक है, लेकिन यह बहुपद छल्लों के बराबर है।

एक सामान्य रिंग में, एक तत्व $r$है अलघुकरणीय हैं, जब भी यह रूप में लिखा है$r=ab$, बिल्कुल एक $a$ तथा $b$उलटा है। लिख रहे हैं$r\mid a$ अगर मौजूद है $b$ ऐसा है कि $r=ab$, यह कहने का एक और तरीका है $r$ अगर, जब भी इर्रेडिबल है $a\mid r$, $r\mid a$।

यह प्राइम के लिए अलग है, जो है: $r$है प्रधानमंत्री अगर$r$ उल्टा शून्य नहीं है और, जब भी $r\mid ab$, $r\mid a$ या $r\mid b$।

एक अभिन्न डोमेन में (एकता के साथ) $R$, प्रत्येक प्राइम इरीड्यूसबल है, लेकिन प्रत्‍येक विडंबना प्रधान होने की आवश्‍यकता नहीं है। यह देखने के लिए कि प्रत्येक प्रधान चिड़चिड़ा है, मान लीजिए कि$r$ प्रधान है और $r=ab$। जबसे$r=ab$, निश्चित रूप से $r\mid ab$। इस प्रकार$r\mid a$ या $r\mid b$, व्यापकता के नुकसान के बिना $r\mid a$। इस प्रकार$a=rs$ कुछ के लिए $s$, और इस तरह $$ r=ab=rsb.$$ जबसे $R$ एक अभिन्न डोमेन है और $r(1-sb)=0$, हम देखते है कि $sb=1$। विशेष रूप से,$b$ उलटा है, इसलिए $r$ बेमतलब है।

रिंग्स जहां प्रत्येक इरेड्यूबल प्राइम होता है, जो अद्वितीय फैक्टराइजेशन डोमेन , या यूएफडी हैं। यह उस कथन के बराबर है जो प्रत्येक तत्व है$r\in R$irreducibles में एक कारक है, और , इस कारक में प्रकट होने वाले irreducibles उल्टे तत्वों द्वारा पुन: व्यवस्थित और गुणा करने के लिए अद्वितीय हैं।

खेतों के ऊपर बहुपद वलय (संभावित रूप से कई चर में) यूएफडी के उदाहरण हैं, इसलिए बहुपद वलय के लिए अतार्किक की कई संभावित परिभाषाएं हैं।